рассмотреть и определенный класс нестационарных течений, для которых существует доминирующее направление течения. Численный расчет таких течений наиболее эффективно может быть осуществлен на основе RNS-уравнений.

Исторически сложилось так, что вопрос о том, можно ли для данной RNS-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной, решается эмпирически. Проводится некоторая аппроксимация и изучается численное решение. Если получается физически реальное решение, система RNS-уравнений считается устойчивой. В работе [Briley, McDonald, 1984] более систематично исследован вопрос о том, является ли RNS-система уравнений эллиптической по маршевой переменной. Как отмечено в гл. 2, такой подход требует построения расширенной системы уравнений в частных производных первого порядка, которая может иметь сингулярную характеристическую форму. Это обстоятельство делает рассмотрение неубедительным.

В данной главе предпочитается другой более прямой подход основанный на анализе Фурье (п. 2.1.5), примененном к системе уравнений. В п. 16.1.2 он будет использован для того, чтобы априори определить, можно ли для данной RNS-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной. Как и анализ на основе характеристик (гл. 2), метод Фурье устанавливает формальный тип уравнений. Однако анализ Фурье имеет значительное преимущество, заключающееся в том что он точно указывает, какой член ответствен за эллиптическое поведение. Может оказаться, что потребуются дополнительные предположения, часто связанные с давлением, обеспечивающие неэллиптическое поведение (например, п. 16.2.2). Практическое применение RNS-подхода рассматривается в п. 16.1.4 на примере задачи о распределении температуры на входе в канал.

16.1,1. Анализ порядков величин

В данном разделе RNS-уравнения будут выведены из уравнений Навье-Стокса для двумерных стационарных сжимаемых и несжимаемых ламинарных течений. Для описания турбулентных течений RNS-уравнения необходимо модифицировать. Однако метод вывода RNS-уравнений для осредненных параметров турбулентного течения по существу остается тем же, т. е. основан на сравнении порядков величин.

Вывод укороченных уравнений Навье -Стокса в основном совпадает с выводом уравнений пограничного слоя [Cebeci, Bradshaw, 1977]. Эффекты вязкости здесь также считаются су-

щественными лишь в слое, толщина которого б (рис. 16.2) мала по сравнению с характерным размером в направлении потока L.

Для ламинарных пограничных слоев величина 6/L порядка 0(Re-/2). Для типичных чисел Рейнольдса Re =10; это означает, что 6/L я:: 0.001. Одна из причин необходимости вывода RNS-уравнений связана с рассмотрением вязких слоев, толщина

Невязкое

Вязкое

течение

Рис. 16.2. Типичная толщина вязкого слоя (а) во внешнем течении и (Ь) во

внутреннем течении.

которых больше толщины пограничных слоев. Так, для значений 8/L в диапозоне от 0.1 до 0.01, по-видимому, следует использовать RHS-уравнения. В свою очередь это означает, что в полных уравнениях Навье - Стокса можно опустить члены порядка О ((6/L) 2), но необходимо оставить члены порядка 0(6/L). Вывод уравнений пограничного слоя основан на пренебрежении членами порядка 0(6/L).

Для стационарного ламинарного несжимаемого двумерного течения уравнения Навье -Стокса (11.81) запишутся в безразмерной форме

f + f=0, 06.1)

dv . dv . dp 1 Zdv . dv \ o\

где число Рейнольдса Re = pf/ooL/ii. Безразмерная форма уравнений (16.1) -(16.3) получена аналогично (11.42).

Для определения относительной величины различных членов в уравнениях (16.1) - (16.3) предполагается, что для и и v д/дх порядка 0(1), д/ду порядка 0(L/6) и д/ду порядка 0((L/6)2). Поскольку и - величина порядка 0(1), а v порядка 0(8/L), уравнение (16.1) упростить нельзя. Все члены в левой части уравнения (16.2) порядка 0(1). В правой части уравнения (16.2) ди/дх порядка 0(1), а ди/ду порядка 0((L/6)2); поэтому членом ди/дх можно пренебречь.

3.3) порядок члена [\/t)dv/dx равен 0((6/L)4), lena (l/Re)dv/dy равен 0((8/L)), Поэтому про-

дх ду

ди . ди . др 1 ди /ла с\

dv.dv.dp I dv /,

В классической теории пограничного слоя уравнение (16.6) упрощается до др/ду = 0. Однако в случае более толстых вязких слоев, для описания которых требуются RNS-уравнения, необходимо сохранить все члены в уравнении (16.6). При значительной кривизне линий тока в (16.6) следует также включить дополнительный центробежный член. При использовании обобщенных криволинейных координат (гл. 12), что обычно делается в случае областей расчета сложной формы, этот член возникает естественным образом.

Согласно проведенному анализу,порядок члена (l/Re)dv/dy равен О ((6/1)2), рекомендует Рубин [Rubin, 1984], им

можно пренебречь. В данной исходной форме RNS-уравнений этот член сохранен, поскольку он не приводит к эллиптическому взаимодействию (п. 16.1.3). Связанная с ним дополнительная диссипация может быть полезна для численных расчетов.

Уравнения (16.4) -(16.6), если пренебречь вязкостью, сводятся к уравнениям Эйлера, которыми описывается практически невозмущенное течение вдали от тела.

Граничные условия для несжимаемых RNS-уравнений зависят от типа системы (16.4) -(16.6); данный вопрос будет рассмотрен в п. 16.1.3.

Двумерные стационарные сжимаемые ламинарные уравнения Навье - Стокса в безразмерной форме имеют вид

(Р ) + (Р ) = 0, (16.7)

дх ду ди ди др 1 Г дтхх , дтху

(16.8)

В классической теории пограничного слоя величина 1/Re порядка 0((6/L)2). В приближении RNS-уравнений предполагается, однако, что 1/Re <С О ((6/1)2); а именно что 1/Re порядка 0((6/L)3), и поэтому (l/Re)(3V2 порядка 0((6/L)). Все члены в левой части уравнения (163) порядка 0(6/L). В правой части (16.Г а порядок члена

изводной dvjdx можно пренебречь. Таким образом, RNS-уравнения имеют вид

+1-0, (16.4)