Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

рассмотреть и определенный класс нестационарных течений, для которых существует доминирующее направление течения. Численный расчет таких течений наиболее эффективно может быть осуществлен на основе RNS-уравнений.

Исторически сложилось так, что вопрос о том, можно ли для данной RNS-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной, решается эмпирически. Проводится некоторая аппроксимация и изучается численное решение. Если получается физически реальное решение, система RNS-уравнений считается устойчивой. В работе [Briley, McDonald, 1984] более систематично исследован вопрос о том, является ли RNS-система уравнений эллиптической по маршевой переменной. Как отмечено в гл. 2, такой подход требует построения расширенной системы уравнений в частных производных первого порядка, которая может иметь сингулярную характеристическую форму. Это обстоятельство делает рассмотрение неубедительным.

В данной главе предпочитается другой более прямой подход основанный на анализе Фурье (п. 2.1.5), примененном к системе уравнений. В п. 16.1.2 он будет использован для того, чтобы априори определить, можно ли для данной RNS-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной. Как и анализ на основе характеристик (гл. 2), метод Фурье устанавливает формальный тип уравнений. Однако анализ Фурье имеет значительное преимущество, заключающееся в том что он точно указывает, какой член ответствен за эллиптическое поведение. Может оказаться, что потребуются дополнительные предположения, часто связанные с давлением, обеспечивающие неэллиптическое поведение (например, п. 16.2.2). Практическое применение RNS-подхода рассматривается в п. 16.1.4 на примере задачи о распределении температуры на входе в канал.

16.1,1. Анализ порядков величин

В данном разделе RNS-уравнения будут выведены из уравнений Навье-Стокса для двумерных стационарных сжимаемых и несжимаемых ламинарных течений. Для описания турбулентных течений RNS-уравнения необходимо модифицировать. Однако метод вывода RNS-уравнений для осредненных параметров турбулентного течения по существу остается тем же, т. е. основан на сравнении порядков величин.

Вывод укороченных уравнений Навье -Стокса в основном совпадает с выводом уравнений пограничного слоя [Cebeci, Bradshaw, 1977]. Эффекты вязкости здесь также считаются су-



щественными лишь в слое, толщина которого б (рис. 16.2) мала по сравнению с характерным размером в направлении потока L.

Для ламинарных пограничных слоев величина 6/L порядка 0(Re-/2). Для типичных чисел Рейнольдса Re =10; это означает, что 6/L я:: 0.001. Одна из причин необходимости вывода RNS-уравнений связана с рассмотрением вязких слоев, толщина

Невязкое

Вязкое

течение

Рис. 16.2. Типичная толщина вязкого слоя (а) во внешнем течении и (Ь) во

внутреннем течении.

которых больше толщины пограничных слоев. Так, для значений 8/L в диапозоне от 0.1 до 0.01, по-видимому, следует использовать RHS-уравнения. В свою очередь это означает, что в полных уравнениях Навье - Стокса можно опустить члены порядка О ((6/L) 2), но необходимо оставить члены порядка 0(6/L). Вывод уравнений пограничного слоя основан на пренебрежении членами порядка 0(6/L).

Для стационарного ламинарного несжимаемого двумерного течения уравнения Навье -Стокса (11.81) запишутся в безразмерной форме

f + f=0, 06.1)

dv . dv . dp 1 Zdv . dv \ o\

где число Рейнольдса Re = pf/ooL/ii. Безразмерная форма уравнений (16.1) -(16.3) получена аналогично (11.42).

Для определения относительной величины различных членов в уравнениях (16.1) - (16.3) предполагается, что для и и v д/дх порядка 0(1), д/ду порядка 0(L/6) и д/ду порядка 0((L/6)2). Поскольку и - величина порядка 0(1), а v порядка 0(8/L), уравнение (16.1) упростить нельзя. Все члены в левой части уравнения (16.2) порядка 0(1). В правой части уравнения (16.2) ди/дх порядка 0(1), а ди/ду порядка 0((L/6)2); поэтому членом ди/дх можно пренебречь.



3.3) порядок члена [\/t)dv/dx равен 0((6/L)4), lena (l/Re)dv/dy равен 0((8/L)), Поэтому про-

дх ду

ди . ди . др 1 ди /ла с\

dv.dv.dp I dv /,

В классической теории пограничного слоя уравнение (16.6) упрощается до др/ду = 0. Однако в случае более толстых вязких слоев, для описания которых требуются RNS-уравнения, необходимо сохранить все члены в уравнении (16.6). При значительной кривизне линий тока в (16.6) следует также включить дополнительный центробежный член. При использовании обобщенных криволинейных координат (гл. 12), что обычно делается в случае областей расчета сложной формы, этот член возникает естественным образом.

Согласно проведенному анализу,порядок члена (l/Re)dv/dy равен О ((6/1)2), рекомендует Рубин [Rubin, 1984], им

можно пренебречь. В данной исходной форме RNS-уравнений этот член сохранен, поскольку он не приводит к эллиптическому взаимодействию (п. 16.1.3). Связанная с ним дополнительная диссипация может быть полезна для численных расчетов.

Уравнения (16.4) -(16.6), если пренебречь вязкостью, сводятся к уравнениям Эйлера, которыми описывается практически невозмущенное течение вдали от тела.

Граничные условия для несжимаемых RNS-уравнений зависят от типа системы (16.4) -(16.6); данный вопрос будет рассмотрен в п. 16.1.3.

Двумерные стационарные сжимаемые ламинарные уравнения Навье - Стокса в безразмерной форме имеют вид

(Р ) + (Р ) = 0, (16.7)

дх ду ди ди др 1 Г дтхх , дтху

(16.8)

В классической теории пограничного слоя величина 1/Re порядка 0((6/L)2). В приближении RNS-уравнений предполагается, однако, что 1/Re <С О ((6/1)2); а именно что 1/Re порядка 0((6/L)3), и поэтому (l/Re)(3V2 порядка 0((6/L)). Все члены в левой части уравнения (163) порядка 0(6/L). В правой части (16.Г а порядок члена

изводной dvjdx можно пренебречь. Таким образом, RNS-уравнения имеют вид

+1-0, (16.4)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений