Однако, поскольку уравнение (16.18) линейное, для определения качественного поведения решения достаточно рассмотреть лишь

T(x,i)=0

=То(у)

дГ/дд:(оо,у)=:0

а:=0 дГ/ду(х,0)=0

Рис. 16.3. Типичные граничные условия для уравнения (16.18).

одну компоненту разложения (16.19):

v Г = ехр [i (or,) х] exp [i (or,) yl (16.20)

где Т можно рассматривать как преобразование Фурье Г. Подстановка этого выражения в (16.18) позволяет получить следующий полином относительно ог; и Gyl

6al -f шог -f еог2 -f /уог = 0.

(16.21)

Уравнение (16.21) иногда называется символом (16.18). Уравнение (16.21) будет использовано для определения зависимости Gx от произвольного вещественного Оу. Подстановка этой зависимости в (16.20) определит соответствующее поведение решения. Будет ли конкретная мода (16.20) фигурировать в решении, зависит от граничных условий. В результате решения уравнения (16.21) можно получить

sol + i

Поскольку б < 1, это выражение можно упростить:

Предполагается, что решение уравнения (16.18) можно представить комплексным рядом Фурье, т. е.

оо оо

T = -Yj Е б/ехр[Ю/д:]ехр[гЮ4у]. (16.19)

k ---оо / --оо

Таким образом,

. = -- или -,( + )+ ;. (,6.22,

При заданном вещественном значении Оу первый корень соответствует решению Г, которое, как следует из (16.20), согласно члену -Gyv/Uy осциллирует в направлении х и, согласно ieoyuy экспоненциально убывает по если и больше нуля. Если и меньше нуля, имеет место экспоненциальный рост решения. Второй корень соответствует осциллирующему экспоненциально возрастающему при положительном и решению. Таким образом, из рассмотрения двух корней следует, что Т осциллирует по х и экспоненциально увеличивается при любом знаке и. Однако, поскольку уравнение (16.18) эллиптическое, соответствующее граничное условие при jc = оо, изображенное на рис. 16.3, не допускает появления в решении экспоненциально нарастающей моды.

Приближение, приводящее к укороченным уравнениям Навье - Стокса (п. 16.1.1), эквивалентно отбрасыванию члена ЬдТ/дх в уравнении (16.18). В результате получится параболическое по X уравнение (§ 2.3), для которого не требуется граничного условия при а: = оо. После подстановки (16.20) в укороченное уравнение вместо (16.21) получится уравнение

шог + еа2 + ша = 0 или а, = /--, (16.23)

что совпадает с первым корнем в (16.22). Соответствующее решение для Г, согласно (16.20), будет осциллирующим и затухающим по X, если только и п г одного знака. Если это не выполняется, имеет место осциллирующее нарастающее решение, что исключает возможность использования для его определения одного маршевого прохода в направлении х. Параметр е эквивалентен коэффициентам вязкости или теплопроводности, которые всегда положительны. Таким образом, для устойчивости решения необходимо, чтобы и везде было больше нуля. Поскольку при 6 = 0 уравнение (16.18) параболическое, положительное значение и соответствует переносу информации в положительном подобном времени направлении.

Из приведенного выше примера видно, что анализ Фурье позволяет точно определить, какого типа решение можно ожидать и какие члены ответственны за данный тип решения. В частности, применительно к укороченным уравнениям Навье - Стокса этот анализ позволяет определить возможность появления экспоненциально нарастающего решения, при котором

невозможно получить устойчивое решение за один маршевый проход вниз по потоку.

Существует очевидная параллель данного метода с применением анализа Фурье для определения характера решения дискретных уравнений (п. 9.2.1). Можно ожидать, что решение дискретных уравнений будет сходиться к решению задачи, описываемой уравнениями в частных производных, если в результате анализа Фурье исходных уравнений получится поведение решения, сравнимое с поведением, определенным на основе анализа Фурье разностных уравнений. Однако при исследовании методом Фурье систем дискретных уравнений, т. е. при исследовании устойчивости по Нейману (§ 4.3), остается не ясным, связана ли появляющаяся неустойчивость со свойствами дискретной системы или же физическая неустойчивость присуща исходной системе уравнений и связанным с ней граничным условиям.

Рассматриваемое применение метода Фурье позволяет определить возможность неустойчивого нарастания решения, присущего системе уравнений в частных производных. В принципе физические граничные условия могут быть введены в представление Фурье. В результате решение, эквивалентное (16.19), будет приближением Фурье действительного решения. В этом состоит суть подхода, используемого для аналитического исследования различных течений (см., например, [Stuart, 1963] или [Drazin, Reid, 1981]). Однако столь исчерпывающий метод не нужен для определения необходимой формы укороченных уравнений Навье - Стокса.

Настоящий анализ Фурье можно сравнить с традиционным характеристическим анализом уравнений в частных производных (гл. 2). При традиционном методе характеристик сохраняются лишь высшие производные и уравнения приводятся к характеристической форме, т. е. получается характеристический полином, например (2.36). Можно заметить, что, если в проведенном анализе Фурье оставить лишь высшие производные, полином по Gxy Gyy например (16.21), совпадет с характеристической формой (см. также п. 2.1.5). Таким образом, характеристическая форма уравнения (16.18) может быть получена из (16.21) и имеет вид

бог2+8(Т2=0.

Это уравнение имеет мнимые корни, поэтому (16.18) классифицируется как эллиптическое уравнение в частных производных.

Однако для рассматриваемых задач метод Фурье определения возможности появления точек экспоненциального нарастания решений уравнения предпочтительнее характеристического анализа по следующим причинам: