относительно жесткие тела, а деформации сосредоточены в основном в стыках. Разумеется, там, где нельзя пренебречь распределенностью параметров, это учитывают с помощью заменяющих моделей в виде упругих элементов (стержней, пластин) с сосредоточенными инерционными параметрами.

Расчетная схема должна быть с достаточной для практики точностью эквивалентна реальной системе станка в заданном частотном диапазоне по жесткости в точках приведения масс, значениям низших собственных частот (лежащих в заданном диапазоне) и соответствующих им формам колебаний.

Построенная таким образом расчетная схема позволяет описать динамику упругой системы станка системой линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Допустимость линейного представления может быть обоснована натягом упругой системы силами резания и весом ее элементов, а также относительной малостью амплитуд их колебаний.

Разработку расчетной схемы упругой системы станка можно проводить на основе чертежей. Однако наличие экспериментальных данных (частотных характеристик, форм колебаний упругой системы на собственных частотах), полученных для базового варианта станка, позволяет при разработке расчетной схемы сделать ряд обоснованных упрощений и существенно сократить в дальнейшем объем расчетных работ.

Рассмотрим два примера. Базой для построения расчетной схемы бесцентрового круглошлифовального станка с широким кругом послужили данные о колебаниях элементов станка в процессе шлифования. Поскольку основные возмущающие воздействия на станок в данном случае создают исходная погрешность заготовки и привод, эксперименты проводили при черновом шлифовании, когда спектр возмущений шире, а их интенсивность достаточна для дальнейшего спектрального анализа. Размещение датчиков колебаний на станке определялось необходимостью получения информации о формах колебаний его упругой системы.

Полученные записи колебаний (реализации) рассматривали как случайные процессы. После аналого-цифрового преобразования данные о колебаниях различных точек станка вводили в ЭВМ для обработки в целях определения статистических характеристик, в том числе оценок спектральных плотностей (описывающих частотную структуру процессов колебаний).

Анализ полученных характеристик позволил установить, что до 95 % дисперсии относительных колебаний бабок шлифовального и ведущего кругов определяется колебаниями в диапазоне от О до 100 Гц. Следовательно, для достаточно точного описания поведения динамической системы станка можно учитывать только низкочастотные формы колебаний его упругой системы, соответствующих этому диапазону.

Были определены собственные частоты станка в диапазоне до 100 Гц. По результатам расчетов на ЭВМ статистических характеристик были найдены оценки отношений амплитуд колебаний различ-

ных пар точек упругой системы - амплитудные и фазовые спектры. Значения ординат спектров на всех собственных частотах станка позволяют судить о формах колебаний его упругой системы. Анализ форм колебаний показал, что основные перемещения элементов упругой системы станка при колебаниях происходит в плоскости, перпендикулярной оси шлифовального круга. Это дало основание ограничиться рассмотрением плоской расчетной схемы станка (непространственной). Было установлено также, что основные узлы станка (станина, бабки, шлифовальный и ведущий круги) двигаются при колебаниях как жесткие тела (массивы) за счет деформаций в стыках.

Под массивом подразумевают тело, собственными деформациями которого можно пренебречь по сравнению с контактными деформациями в стыках. Расчетная схема станка в виде линейной колебательной системы, состоящей из пяти элементов с И степенями свободы, приведена на рис. 18.4. Массивы I (шлифовальный круг), 2 (бабка шлифовального круга), 3 (ведущий круг) и 5 (станина) соединены невесомыми упругими связями с вязким демпфированием - моделями стыков. Каждую связь в плоскости XOF характеризуют коэффициенты жесткости и коэффициенты демпфирования соответствующего стыка по осям X, Y и при повороте вокруг оси Z,

инерционные характеристики массивов (массы, моменты инерции) сосредоточены в центрах тяжести соответствующих элементов станка.

Один из элементов упругой системы станка-суппорт ножа - на расчетной схеме заменен жестко защемленной эквивалентной невесомой упругой балкой (стержнем) с приведенной массой, сосредоточенной в точке 4 контакта ножа с обрабатываемой деталью. Статическая жесткость такой заменяющей системы в точке 4 по оси У равна жесткости реальной системы ножа в той же точке, а собственные частоты систем одинаковы. Принято, что масса суппорта ножа (точка 4) обладает одной степенью свободы (по оси X).

В качестве второго примера рассмотрим разработку расчетной схемы упругой системы координатно-расточного станка (рис. 18.5, а). Во время предварительных экспериментов в этом случае станок возбуждался электромагнитным вибратором, установленным на столе. Измеряли перемещения расточной оправки относительно стола, а также перемещения других характерных точек упругой системы по координатным осям X, Y, Z. Последовательная ориентация вибратора вдоль каждой из координатных осей позволила построить матрицу Wa. у. с частотных характеристик эквивалентной упругой системы с девятью элементами: Wxx> Wyy> zz> xy, xz>

Рис. 18.4. Расчетная схема упругой системы бесцентрового круглошлифовального станка

Wrx. у2.2х. zY (первый индекс соответствует направлению измеряемых относительных перемещений оправки и стола, второй - направлению возбуждающей силы). Модули (амплитудно-частотные характеристики) взаимных характеристик (с разными индексами), как и модуль характеристики Wzz оказались существенно меньшими, по сравнению с модулями основных характеристик Wxx и Wyy, во всем исследуемом частотном диапазоне (20-500 Гц). Это дало основание считать слабо связанными колебания станка по различным координатным осям и рассматривать его пространственную упругую систему состоящей из двух независимых плоских подсистем (в плоскостях XOZ и YOZ), а колебаниями по оси Z пренебречь.

--71

Рис. 18.5. Координатно-расточной станок с ЧПУ (а) и расчетная схема его упругой системы (б)

По характеристикам Wxx и Wyy были найдены собственные частоты системы. Картины перемещений точек упругой системы станка при колебаниях на каждой из собственных частот (экспериментальные формы колебаний) позволили представить характер деформаций основных элементов станка и провести их классификацию на массивы и стержни (упругие балки); к массивам были отнесены (рис. 18.5, а) станина У, салазки 5, стол 7, электродвигатель 9 и шпиндельная коробка И. Гильза 13 также была представлена в виде массива (жесткого тела) на упругих опорах. При работе станка момент сил резания отклоняет ось гильзы от вертикали; при этом на диаметрально противоположных сторонах гильзы в верхней и нижней частях ее стыка со шпиндельной коробкой возникают площадки контакта, составляющие примерно 10 % общей длины стыка. Эта картина практически не изменяется, если учитывать собственные деформации гильзы, которые даже при неблагоприятных условиях нагружения в несколько раз меньше зазора в стыке. Жесткость площадок контакта определяет линейную и угловую жесткость стыка шпиндельная коробка-гильзы .

Как показали формы колебаний, стойка 7 станка колеблется как упругое тело, упруго защемленное относительно угловых перемещений в стыке 6 со станиной (в плоскостях XOZ и FOZ). Это дало основание классифицировать стойку как стержень. К стержням был отнесен также полый шпиндель станка, обладающий невысокой изгибной жесткостью.

На основе полученных сведений была разработана пространственная расчетная схема станка (рис. 18.5, б). Связи между точками О, 1, 2 п6; 2, 3 п4; 4п5; 8п9; 10, 11 и 12; 12, 13 и 17 (как между точками, принадлежащими одному массиву ), а также между точками 7, 8 я 10 (как между точками, лежащими в одном поперечном сечении стержня) приняты жесткими; между точками 6 п 7 стойки, точками 14, 15, 16, 17 и 18 расположения сосредоточенных масо шпинделя - упругими; между остальными точками - упругодемп-фирующими.

Анализ форм колебаний позволил пренебречь податливостью некоторых стыков, что значительно уменьшило трудоемкость подготовительного этапа расчета. Например, было установлено, что податливости стыков стол-салазки и салазки-станина следует учитывать лишь в направлении движения подачи и только при фрезеровании, когда выключены механизмы зажима этих стыков. В остальных случаях эти стыки можно считать абсолютно жесткими. Оказалось возможным полностью пренебречь податливостью соединения блока направляющих со стойкой, а в стыке стойка-станина учитывать только угловые податливости в плоскостях XOZ и YOZ (о чем уже говорилось выше). Вместе с тем стык станина-фундамент принят податливым по всем шести возможным перемещениям, что необходимо, в частности, при гнализе вынужденных колебаний системы станка от возмущений со стороны фундамента.

Эксперименты и расчеты показали, что не всегда стык шпиндель-инструмент можно считать жестким. Вместе с тем представляет интерес определение влияния жесткости этого стыка на характеристики упругой системы станка в целом. Эти соображения делают необходимым учет в расчетной схеме податливости стыка шпиндель-инструмент . Сам инструмент, если его собственными деформациями можно пренебречь (жесткая борштанга, фреза), представляется массивом. В других случаях необходим учет конструктивных особенностей конкретного инструмента.

Стойка и шпиндель станка, рассматриваемые как стержни, представлены на расчетной схеме своими заменяющими моделями. К стойке жестко прикреплен блок направляющих (реальная сосредоточенная масса). Поэтому приведение массы стойки целесообразно осуществлять в точку пересечения вертикальной оси стойки с линией, параллельной оси Y и проходящей через центр стыка стойка-блок направляющих (точка 7 на рис. 18.5, б). Таким образом, заменяющая модель стойки представляет собой невесомый упругий стержень, упруго защемленный в точке 6, с сосредоточенной приведенной массой в точке 7 и сосредоточенными приведенными моментами инерции в той же точке (различными для поворотов в пло-

скостях XOZ и YOZ). Помимо изгиба, стержень может работать на кручение вокруг вертикальной оси стойки. Шпиндель станка представлен на расчетной схеме в виде невесомой упругой балки с пятью сосредоточенными массами {точки 14-18) на двух упругодемпфиру-ющих опорах. Такое представление шпинделя обеспечивает относительную погрешность при определении собственных частот н форм колебаний в диапазоне частот от О до 500 Гц не более 5 % и вполне оправдано для такого ответственного узла, несмотря на усложнение расчета.

Таким образом, расчетная схема упругой системы координатно-расточного станка содержит 12 сосредоточенных масс, соединенных упругими и диссипативными связями. Каждая масса в общем случае может иметь шесть степеней свободы, и ее движение должно описываться шестью дифференциальными уравнениями второго порядка, В этом случае значительно удобнее использовать матрично-вектор-ную форму записи уравнений движения. При этом составление уравнений колебаний в трехмерном пространстве практически не отличается от аналогичной процедуры в направлении одной из осей координат.

Ранее была обоснована допустимость независимого рассмотрения колебаний упругой системы координатно-расточного станка в плоскостях XOZ и YOZ. Следовательно, система распадается на две независимые плоские подсистемы: одна соответствует колебаниям станка по координатам X, фу, ф, другая - колебаниям по К, Z и ф. Матрицы, входящие в уравнения, в этом случае будут иметь размер 3x3 (а не 6x6, как для пространственной системы). Сами же матричные уравнения имеют одинаковый вид независимо от того, движение какой из плоских подсистем рассматривают (меняется лишь содержание матриц).

§ 3. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ

При составлении уравнений колебаний упругих систем станков, рассмотренных выше, используют следующие матрицы, 1. fAj - матрица инерционных характеристик в /-й точке:

, (18.5)

где m - массы; J - моменты инерции; S и ф - соответственно статические и центробежные моменты инерции. Здесь и далее под-

строчные индексы означают оси, относительно которых берутся инерционные характеристики; для краткости записи общий индекс / вынесен за рамки матрицы. Порядок записи строк и столбцов матрицы f\j (как и всех приведенных ниже матриц) соответствует координатам X, Y, Z, ф, фу, правой прямоугольной системе координат; при решении частных задач следует из матрицы размера 6x6 взять строки и столбцы, соответствующие имеющимся у рассматриваемого элемента / степеням свободы. Следует заметить, что при совпадении /-й точки с центром тяжести элемента матрица М> становится диагональной.

С :

2. С* = .....;..... - матрица жесткости упругого элемента е.

Если этим элементом является стык между точками i и / то - диагональная матрица размера 6x6, состоящая из коэффициентов С, Су, линейной и Сф, Сфу, Сф угловой жесткости этого стыка, причем С; = Cj, = С-г = -С,-;. Если упругим элементом является стержень длиной / с конечными точками i и /, то

о о о о

о о о о о

l2EJz

о -

eEJz

12EJz

о о о

GEJz

12£jy О

GJx I

\2EJy О

AEJy I

bEJz 1

4EJz

GJx I

о -

&ejy

6EJz

4ejy I

4EJz I