фактора Д; etj - независимые и нормально распределенные погрвп-ности наблюдения.

Используя выборочные характеристики (см. табл. 15.1) уи, У4 и можно найти оценки параметров модели

1* = ..; &i = yt.-yj bi = yj - yj i(j)=bl 2,..., p.

Задачей дисперсионного анализа является проверка гипотезы О равенстве нулю эффектов а, и т. е. гипотезы о несущественности факторов А и В. Существенность фактора характеризуется его вкладом в дисперсию выхода изучаемого объекта. Если через SS обозначить сумму квадратов отклонений результатов изменении от общего среднего

SS=ttiyu-y..?,

то разложение SS можно представить в виде основного уравнения дисперсионного анализа

SS==SS + SSB-f ss

где SS = р Jj (Уи - у..) с числом степеней свободы = р - Ij р

SSb ~ Р iy.j - y.f с числом степеней свободы Vg = р - I;

SSe = SS -SSi - SSg с числом степеней свободы vg = (р - 1){р - 1).

На основе каждой из сумм квадратов можно получить независимые оценки дисперсий и найти отношения Fa = slfst ш Fb = = sfi/sl, которые имеют f-распределение Фишера соответственно с v] = v, va = и vx = vg, = vg степенями свободы-

Гипотеза о несущественности влияния фактора А на выход объекта отвергается, если для заданного уровня значимости рассчитанное значение Fa > /табл; табл находится по таблицам /-распределения при числах степеней свободы vj = и = vg. В противном случае (F < абл) фактор А признается несущественным. Аналогично проверяют несущественность фактора В.

Рассмотренная для двухфакторного дисперсионного анализа методика обработки результатов измерений легко обобщается при произвольном числе факторов. Однако обт>ем плана эксперимента существенно возрастает - при варьировании /г-факторов на р уровнях для каждого требуется произвести р* измерений. Для сокращения числа экспериментов используют дробные реплики (части) полных факторных планов, построенные на основе использования ортогональных латинских квадратов. Латинским называют квадрат, состоящий из р строк и р столбцов. Каждая из его клеток содержит одну из р латинских букв (или цифр), соответствующих уровням факторов, причем каждая буква (цифра) встречается в каждой строке и каждом столбце один и только один раз.

Два латинских квадрата называют ортогональными, если каждая упорядоченная пара букв (цифр), полученная в клетках в результате наложения одного квадрата на другой, встречается только

однажды. Для числа уровнен р, в общем, возможно построение не более (р - 1) попарно ортогональных латинских квадратов (кроме р = 6).

Наложив пару ортогональных латинских квадратов 4x4 (т.е. р = 4) на таблицу измерений двухфакторного дисперсионного анализа (см. табл. 19.1), получим в клетках таблшщ сочетания двух пар индексов - первая относится к факторам Л и В, вторая -к факторам С я D, Эти индексы указывают условия проведения измерений (уровни факторов) при k = А. Соответственно модель, описыва-кщая наюдення, будет иметь вид

Vijmn = И- + of + Ч- cm -Ь d -f еи ,

где Cjn, d я- соответственно эффекты влияния т-то уровня фактора С и п-го уровня, фактора D.

Методика обработки результатов остается прежней; лишь для определения новых сумм квадратов SSc и SSj, используют выборочные средние по одинаковым индексам третьего и четвертого факторов, обозначаемые через и /..j,.

В общем случае наложения друг на друга (р - 1) ортогональных латинских квадратов образуется гиперквадрат рХр. С его помощью можно провести исследование до (р -j- 1) фактора включительно при относительно небольшом числе экспериментов. Для проведения дисперсионного анализа широко применяют вычислительную технику.

Использование планов дробного факторного эксперимента для выделения существенных факторов является, пожалуй, наиболее эффективным средством. Особенно выгодными оказываются так называемые насыщенные планы, у которых число опытов лишь на единицу больше числа оцениваемых факторов. Планы факторного эксперимента используют для построения эмпирических регрессионных моделей При отсенванин несущественных факторов может быть использована, например, линейная модель

где у - значение выхода, предсказанное моделью для заданных значений факторов xi (i = I, 2, k); bo, bi-оценки коэхи-циентов регрессии % и

После определения оценок коэффициентов регрессии нетрудно провести их ранжирование по абсолютной величине и исключение несущественных, Постртенне планов факторного эксперимента и методика определения оценок коэффициентов уравнений регрессии будт рассмотрены ниже.

§ 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Продолжая рассмотрение основных методов исследования, остановимся на проблеме идентификаций иззчаемых объектов, огда их входные и выходные сигналы не зависят от времени. Такого рода

задачи могут встретиться при исследовании различных статических характеристик станков (например, зависимости суммарной податливости или какого-либо характерного размера амплитудно-фазовой частотной характеристики станка от его параметров), а также при исследовании стационарных динамических режимов их работы (например, зависимости амплитуды вынужденных колебаний от условий работы и параметров станка). Математические модели, которые получают при решении подобных задач, будем называть статическими. Рассмотрим экспериментально-статистические методы построения статических моделей. Эти методы обычно используют в условиях неполного знания механизма явлений, происходящих в объекте. Сам изучаемый объект в этом случае представляют в виде кибернетической системы, выход у (выходы) которой зависит от k независимых контролируемых переменных х-, х, х и случайных внешних воздействий е, аддитивно наложенных на выход системы. Задача идентификации объекта состоит в построении модели = Ф (Afi, Хг, Xh). Так как вид функции ф обычно бывает неизвестен, то при экспериментально-статистическом исследовании объекта неизвестную действительную зависи.мость аппроксимируют полиномом, коэффициенты которого определяют по данным эксперимента. Коэффициенты полинома можно интерпретировать как коэффициенты ряда Тэйлора, т. е. как значения частных производных искомой функции в точке, в окрестностях которой производится исследование.

Полиномиальные модели весьма удобны для решения практических задач, так как позволяют уточнять описание объекта за счет повышения порядка полинома (увеличения членов отрезка ряда Тэйлора). Вместе с тем такие модели ничего не проясняют в механизме явлений, происходящих в объекте; они лишь формально связывают выход и входы объекта.

Для идентификации изучаемого объекта с помощью полиномиальных моделей обычно используют активный эксперимент, т. е. постановку опытов в определенных точках допустимой области пространства входных переменных (факторов). Активный эксперимент всегда проводят по какому-либо плану. В настоящее время общепризнана эффективность так называемого факторного (многофакторного) эксперимента, разработанного Р. Фишером в 1935 г. для исследования одновременного воздействия на изучаемый объект нескольких факторов. При варьировании всех факторов сразу эффект влияния каждого из них оценивается по всей совокупности опытов, что обычно приводит к уменьшению дисперсии оценки по сравнению со случаем, когда каждый фактор изучаютв отдельности. В этом состоит концепция оптимального использования факторного пространства, повышающая эффективность (в .данном случае точность) эксперимента.

Факторным (рис. 19.1) называют пространство, координаты которого соответствуют расс.матриваемы.м факторам х,. Для проведения эксперимента внутри допустимой области факторного пространства выбирают локальную подобласть, в которой строят план.

Выбор этой подобласти сводится к выбору основного уровня Xio и

интервалов варьирования hxi каждого фактора Xi (t = 1, 2, .... k). В качестве основного уровня обычно выбирают точку, соответствующую имеющемуся базовому варианту изучаемого объекта (если факторы - его конструктивные параметры) или наилучшим условиям его функционирования, насколько это известно из априорной информации.

Интервалы варьирования выбирают на основе априорной информации о кривизне поверхности изучаемой функции ф. Чем меньше кривизна поверхности, тем большими могут быть взяты интервалы варьирования Ах,. Сведения о кривизне поверхности можно получить из предварительных однофактор-ных экспериментов или теоретических предположений.

Таким образом, для каждого i-ro фактора оказываются известны основной уровень и границы локальной

подобласти Xi шш = Х - hxr, Xi шах =

= Xio + Ах,.

Для обеспечения некоторых полезных свойств планов эксперимента, упрощения их записи и обработки результатов эксперимента обычно переходят от натуральных переменных Xi

к безразмерным х, (нормированным). Нормирование осуществляют с помощью простой формулы

Допустимая ofacmi,

Рис. 19 1. Факторное пространство и поверхность отклика

X; =

- Axi

(19.1)

В нормированных переменных основному уровню каждого фактора соответствует х = О, нижнему уровню Xjnun = -1. верхнему уровню Xj шах = +1 в новой системб координат Xj локальная подобласть, в которой проводят эксперимент, представляет собой /fe-мер-ный куб с центром в начале координат. Если вокруг него описать fe-мерную сферу, то ее радиус г = Следовательно, переходя от традиционного однофакторного эксперимента к многофакторному, увеличивают радиус обследуемой сферы просто за счет свойств многомерного пространства при постоянных интервалах варьирования. Это также повышает эффективность факторного эксперимента. Для определения оценок неизвестных коэффициентов полиномиального уравнения регрессии (математической модели) k k k

д = Ьо+Ъ biXi + Z bijXiXi + Z bux] + .. (19.2)

обычно используют метод наименьших квадратов.

Пусть имеется некоторая матрица плана эксперимента X, содержащая строк, соответствующих отдельным опытам в которых независимые факторы достаточно точно поддерживаются на опре-

деленных уровнях д;, . Каждому опыту соответствует эксперияен-тальное значение выхода объекта j/ (ы = 1, 2, ..., N). Результаты экспериментов во всех N точках образуют вектор Y. Тогда оценки коэффициентов модели можно найти, минимизируя функционал

Я = 1 (Уи - УиТ = (F - УУ {Y - Y), (19.3)

рде - расчетные значения выхода объекта в точках и, которые образуют вектор Y; индекс т означает транспонирование.

Из условий минимальности Е получим выражение для оценок В вектора коэффициентов регрессии:

В = (ХХ)-1 ХУ. (19.4)

Если план эксперимента обладает свойствами попарной ортого-нальности столбцов S XtuXju = о , то матрица (ХХ)-, называемая

ковариационной, является диагональной, и все коэффициенты регрессии определяют независимо друг от друга. Если план обладает

также свойством нормировки 2] = ). то все диагональные

\u=l /

элементы ковариационной матрицы равны 1/Л. Следовательно, оценки коэффициентов регрессии определяют по формуле

19.2. План ПФЭ типа 2

6i = 4-2j (19-5)

с дисперсией

sMl - (19.6)

где Ф [у] - дисперсия ошибки эксперимента.

Познакомимся теперь с некоторыми из планов факторного эксперимента. План полного факторного эксперимента (ПФЭ) используют для построения линейной или неполной квадратичной модели

Р = бо + I! biXi + £ bifXiXj.

t=l l<i<l

Чтобы построить линейную модель, достаточно варьировать каждый фактор в процессе эксперимента на двух уровнях (-1 и -f 1). Тогда для реализации всех возможных неповторяющихся комбинаций уровней в ПФЭ потребуется N = 2> опытов. Геометрически экспериментальные точки с координатами +1 и -1 расположатся в вершинах гиперкуба, симметрично расположенного относительно точки основного уровня хю = О (i = 1, 2, k). Таким образом, план ПФЭ обладает еще и третьим свойством - симметричностью

2] Х(; = О . В табл. 19.2 приведен план ПФЭ типа 2*, а в табл. 19.3

19Л1 Ллаи ПФЭ типа 2 и его матрица

план ПФЭ типа 2*. Хорошо виден принцип построения планов ПФЭ типа 2* - частота смены знаков каждого последующего фактора вдвое больше, чем предыдущего.

Полный факторный эксперимент позволяет найти оценки bo и bi не только коэффициентов ро и рг, но и оценки bji коэффициентов, соответствующих а})фектам взаимодействия. Для определения оценки bo коэффициентов ро (расчетного значения выхода в центре плана) и оценок б - коэффициентов pj план эксперимента дополняют единичным столбцом, соответствующим фиктивной переменной Хо = 1, и столбцами произведений факторов. Получается матрица плана ПФЭ (см., например, табл. 19.3 для k = 3).

Недостатком планов ПФЭ является резкий рост числа опытов при увеличении числа k факторов. Например, при = 6 ПФЭ содержит Л/ = 2 = 64 опыта, по которым оценивают лишь 22 коэффициента неполной квадратичной модели (линейных же эффектов, включая свободный член модели, всего семь).

Значительно менее избыточны (в смысле Л) так называемые дробные факторные эксперименты (ДФЭ), представляющие собой определенную часть (реплнку) полного факторного эксперимента. Рассмотрим, например, построение планов ДФЭ на базе плана ПФЭ типа 2, матрица которого приведена в табл. 19.3. Если в этом плане для трех факторов есть основания считать маловероятным тройное взаимодействие х-хх (т. е. априори полагать коэффициент регрессии pi23 = 0), то можно приравнять это взаимодействие к четвертому фактору Xi и варьировать его при проведении эксперимента согласно уровням столбца XiXgiCg. Получившийся план является 1/2-ре-пликой ПФЭ или планом ДФЭ типа 2* .

Если полагать маловероятным также взаимодействие xXg (т. е. считать Раз = 0), то появится возможность, приравняв это взаимодействие к пятому фактору х, варьировать его согласно уровням столбца xXs- Такой план будет 1/4-репликой ПФЭ или планом ДФЭ типа

Если и остальные взаимодействия (xXg и JCiJCg) полагать незначимыми и приравнять к новым факторам х и х то получим 1/16-реп- лику ПФЭ или план ДФЭ типа 2 *. Последний план является насыщенным, у него N равно числу оцениваемых коэффициентов линей-