круглые плаьп\ыыки и обилични вращении

лля среднего орготропного слоя

1 - 7ф\ф,

1 - УдфУф

(40)

где £ г- Е - модули упругости по направлениям г ч Ц) соответственно; Gc - модуль сдвига среднего слоя ь меридиональной плоскости; Vrtp, \срг - коэффициенты Пуассона (первый индекс показывает направление деформации, второй - направление действия усилий).

Основные дифференциальные уравнения, соответствующие приня-юй схеме деформации, можно полунить из вариационного уравнения Лагранжа

0. (41)

где ЬП - вариация полной потенциальной энергии /7 пластинки, ран1[ой сумме потенциальных энергий деформации слоев Р, Pj, Р и 1Юте[щиала внешних усилий А, включающих распределенную поперечную нагрузку, цектробежние усилия и нагрузки на внешних кон гVpax

П= Pi+ Р-\- Р, А. (42)

Величины Я Pj, Р определяю1 по формулам ? /

hi/.

Рс = с f 27irac dzc dr

(44)

(45)

где удельные энергии деформации слоев

й* = {UrtOri + еф,%;);

Ос = у + Чсчс) + J ОЛ-

Полнаи потенциальная энергия системы с учетом формул (43)-(45) представляет собой функционал

/; = \ вйг-Т,

d ~dF

= 0;

ду dr \ дг }

где Q (г) - распределенные по окружности перерезывающие усилия в цилиндрическом сечении на радиусе г.

В развернутом виде уравнения приведены в работе [4].

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Основные уравнения. При расчете используют гипотезу Кирхгофа-Лява о жесткой нормали 3, 6].

В соответствии с =)той гипотезой рассматриваем основную noHejx-ность. которая для обыч1ЮЙ изотропной оболочки совпадет со средин-

НОЙ. Элемент основной поверхности и его радиусы кривизны показлны Ега рнс. 6.

Основную поверхность выбирают из условия

(46)

где Е - \10дуль упругости; fij, б, - расстояния от срединной позер.\-нисти до наружных поверхностей оболочки.

где Т - потенциал краевых усилий; в -функция иезаинсимых перемещений, выбранных за основные неизнестные.

За основные неизвестные могут быть выбраны величины и и у.

Уравнения Эйлера для функционала Я образуют систему разрешающих дифференциальных уравнений

Деформации оболочки в основной поверхности вдоль дуги меридиана и п окружном направлении

(01 du W

(47)

гле и - перемещение точки основной поверхности по касательной 1-: меридиональной кривой; w - перемещение по нормали (положительное направление соответствует перемещению к оси оболочки)

гол попорота нормали (в сторону увеличения угла I R, ds

(48)

Деформации в слое, отстоящем на расстоянии г в сторону внешней нор.мал!!,

du щ , *)

бф = (и clgO и) 4- zctgO- Условия равновесия элемента обо,точки

+ Л. + Лф sin е - , г = 0;

iL( л, cos e-Q,. = О,

(49)

(50) (51) (52)

Силоиые факторы (пл единицу длины сочснии оболочки] и d распределенные нагрузки показаны на рис. 7. Уравнения упругости оболочки

-:- + iudgu-u} +

Оф -

+ vcif

R, R,

; ,( ct2e--v-)J--.(,

где Og, Оц, - напряж1-н]!я в слое, отстоящем на расстоянии гот пеновиой поверхности; v - коэи)фицпент Пуассона; at - телнгерату рка я Д1фор-мацин.

Интегрируя соотношения (53) по толщине оболочки, считая v = = const, получим следующие раненства для силовых факторов:

1 - v-

-{uc\b~w) - Л: (54)

Л(,---D

- V ctg О -

Мф = - о где А - жесткость па растяжение;

(56) (57)

Л - \Edz; -б,

D - цилиндрическая жесткость на изгиб Л,

D= J

Температурные функции

EoLt dz:

(SSl

(59)

(6lli

Ealidz.

(61)

Круглые пластинки и оболочки враи{1.ния

Система разрешающих дифференциальных уравнений. В качества основных неизвестных фуикиий выбирают угол ловорота но1м;]Ли О [формула (48)] и величину. связан]1ую с перерезывающей силой.

Разрешающие уравнения имеют следующий вид:

ds\ А tis ) ds \ А Ч \ Ri J А ds

i (r.[>~ sin в Vl- i- (voe cos 9) - vD cos 0 -

D clg 0 cos a

-f Ч sin (1 = v., + V .

(64)

где функции, зависящие от внешней нагрузки и температуры.

V \ r.p r-!

. £lll..(, )(i y :4fi,i-v,J;,oe)

Ч-и = 0; (S7)

4i, -- {r.j.i sin 6) - Г. cos е. (68)

В последних равенствах Р - равнодействующая внешних уси.1ий приложе1И1ых к рассматриваемой части обо.лочки.

Если известны функции i и (f, зо усилия в срединной nonepxsfo сти определяют нз соотнощений

clg 8

r, 2л r., sin- О

(69) (7(1) (71)

Величины Alt, и Хф находятся из равенства (56) н (57).

Расчет оболочек при иприго-плттич-чжих кФормоциях 137

Интегральные уравнении. Длч [юс(])уе!жн иросшю ajiiopHTMa ра:чета. удоб[1ого для программирования и вычислений, про!=одится двукратное интегрирование уравнений (63) и (64). Ьчит1)вая равенства

I ( ) \ Ч (si) dsi -Н -1 (о): О (5) - \ (.Ч) с/,. :- Ч (а). (72}

где а значение дуги s для игрального сечения, получим И1!теграль itbie уравнения ! относительно функций ц(ч) и (s)-

т] - Лп Г + Z-i г (а) fu -h Ц (а) F,-г <i (и) у = iLii) + -. 11 (f?) /n -T i ( ) 22 4- (a) F.., -

(73)

(s)

(7,

x..(.)..

j D (s,) ctg e (s,) COS e di) X

D (s) (s) sin a (s) X j *(s,) ds, lis, + I D (s,) V (s,) (si) cos в (s j rfs, -- Z) (s) V (s) COS 0 (s) j Й(s, 1 ds,