Внутренние силы 1\, 7 j, N определяют по ойычным формулам (G5), моменты будут

I8S)

В этом случае система разрешающих уранисний лрииимает вид

dV sin Ь dV ds г ds

А(В Л,2-4з)

sin *

12 J

d ds

(87)

in *

B r ds Bii r

- Л;

Сравнивая основные уравнения н расчетные формулы, приведенные на стр. 152-174. замечаем, что все формулы для однослойных оболочек колучаются из уравнений для симметрично собранных слоистых оболочек путем элементарных 1юдстановак. В связи с этим в последующем будем рассматривать только общий случай, т. е. слоистые оболочки.

Система уравнений (82) с точностью первого приближения асимптотического интегрирования 3. 4, 5] (точность которого для целей инженерного расчета вполне достаточна) может быть приведена к одному уравнению относительно искомой комплексной функции

C D

(88)

Произведя известные преобразования, из дифференциальных уравнений (82) получим

Ф(8)= -

здесь X =

L( ) =

rf( ) sin ft d()

-л5Н11();

- произвольное постоинное, которое вобщсм

Си Da

сиучае точно выполняется для однослойных оболочек, а также в случае,

когда отношение -т- для всех c-ifCB имеет одинаковое значе1И1е. Si.

Для полноты укажем, что введение этого ограничения для общего случая упрощает ход расчета, однако если ограничиться точностью первого приближения асимптотического иитегрнрованил, то введение понятия к не будет влиять на дальнейщий од расчета симметрично собранной ортотропной оболочки вращения в обшем случае ортотронии материала слоев [! ],

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ <89)

Многочисленные исследования аннзотропны.ч слоистых оболочек вращения показывают, что, как и в случае изотропных оболочек, частное рещение уравнения (89), отвечающее правой части уравнения, при достаточно плавном изменении вжнщей нагрузки может быть построено по безмоментной теории.

Не вдаваясь в известные гюдробности, приведем частное рен1енпе (безмоыентиое) и значения расчетных величин, отвечающих частному решению

,Q-iJ I / А.

(91)

М\0: AlJO; ,v-0;

cos fl

c0s2 fl

Д, cos= #

(92)

Осноиным методом получения общею рен;1 -ния однородного уравнения симметрично нагруженных анизотропных оболочек вращения, соответствующего у]1авненню (89), будем считать метод асимптотического н!тегрироиания, который в состоянии обеспечить необходимую точность, отвечающую точности разрещающс1-о ураннения (89).

Здесь мы в 0СН0В1ЮМ будем приводить окончательные результаты об асимптотическом интегрировании уравнений теории оболочек вообще, подробнее см. работу [3].

Решение ураннения (89) будем искать н виде

а - CF(s, k)e (94)

где ф (.5, k)-функция интенсивности, которая может быть представлена в виде асимптотического ряда:

cp(s, t)coo.M + + iI+...++... (а#0); (95) j (ь) - функция изменяемости; k - большой парамегр нида

kг = = У

(96)

CuDu

Ограничиваясь первым приближением асимптотического интегрирования и произведя некоторые преобразования с точностью первого прнближе[1ия, получим

а = (Ci cos р - sin Р) -\- {С cos р + sin р) +

4- i [(Ci sin р + Di cos p) e- - (C sin p - cos fJ) eJ; (97)

здесь С;, Di - постоянные интегрирования;

(98)

Прибавляя к равенству (97) частное решение (91) и учитывая ура нение (88), окончательно для искомых 11 и К получим

W = (С, cos Р - Di sin Р) е- + (Сг cos Р + Oj sin fi) ef

КС, sin P -f D, cos P) e-f -

- (C, sin p - D.j cos P) e I - -

Введем новую неременную (см, рис. 3 и 4)

(99)

Частное решение и асимптотическое интегрирование и. обозначив постоянное

для независимого шфеменного Р получим

P = ct -P,. (102)

Введя новые постоянные интегрирования (Ai, А, fij, fl) и произведя серию элементарных преобразований, окончательно для искомых функций получим

7 = Л,в (Р) -Ь B,t (Р) + Л,в (Р,) + В£ (Р,);

V = §1- (Р) -I- s,e Ф) - лг, (р,) +

+ ,0(Р -,

(103)

где для известных табулированных функций (см. табл. 1 гл. 21 т. 1) введены следуюшие обозначения:

в (Р) = е- cos Р; i (Р) = e-f> sin Р; Ф (Р) = 9 (Р) + s (й; KP) = f (P)-c(f

(104)

Исходя из выражений (103) для расчетных величин получим еле-дующие формулы;

Г, = ДДп [Л,? (Р) - В,в(Р) Н- /l,UPi) - ВЛ (Р,)Х

iiipfl-( J ;

т.. = о ]/ I- 4, (р) - а,ф (Р) + -НМ(Р,)Н-В..Ф(Р.)-х

2F-J*

-b iZ;

N = Д0 IfliO (Р) - Л,? (Р) + й,в (Р,) -

-Л£(Р,); Л1, = D Л,ф (Р) - В,ф (Р)

- Лгф (Pi) + 8,4. (Pi);

(105)

+ ВгЧ1 (Р,) + D \Afl (Р) + S,?(P) + + /1гО(Ы + ВЙ(М--

(105)

Формулы для огЕределения напряже[лй в слоях (80) и перемещений (76). (77), (81) остаются без изменений, В зги формулы наряду с V и W входят их производные

= I Ж I- тКР) - йдФ (Р) + t (р.) + ЧгФ (РЛ -

Ri cos* в

/ Р? г

Ci\Rt

\ЛЬ (P) + Bl (P) + Ле (P.) + B,?(Pi)];

(P) - Bill; (P) - (P,) + (Pi)l;

(P) - Bfi (P) + A.£. (PO - (Pi)

Укажем, что при получении этих формул отбрасывались члены по-рядка ]/-.

КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ. ДЛИННЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ

Если начало отсчета координаты 5 совместить с одним краем оболочки, а длину оболочки по дуге меридиана обозначить через L, то для значений р, соответствующих краям оболочки, будем иметь

(106)

Тогда через Pi = о - Р будет представлена координата текущего поперечного сечения оболочки, отсчитанная от края s= L (рис, 11).

Рассматривая функции, входящие в решение (103), замечаем, что функции В (Р), С (Р) убывают при удалении от края О, а функции 0 (Pi), С (Pi) - при удалении от края s= L. Эти функции уже ири Р; = п имеют порядок 0,04. Поэтому если исследуемая точка находится на окружности поперечного сечения оболочки, удаленной от края оболочки настолько, что при заданных упругих постоянных pin.

10 влиянием этого кран на напряженное состояние точек исследуемой окружности или более удаленны ; почек с точностью технического расчета можно пренебречь. Зона оболочки, примыкающая к краю, в кото-рои нельзя пренебрегать влиянием краевых усилий, называется жнпи распр(}странсния краевого эффекта.

Длину (по дуге меридиана) зоны распространения краеиого зф1чкта можно определить по формуле

(107)

В частном случае однослойной ор-тотранной оболочки в силу выражений (72), (83) и (96) для s имеем

nR У

-J-. (108)

Оболочки, в которых взаимным влиянием краев можно пренебречь (т, е, оболочки, длина которых больше s*), называют длинными.

Приведенные ранее результаты вполне достаточны для расчета как длинных, так и коротких оболочек вращения. Однако в последующем

будем рассматривать лишь данные оболочки, как наиболее важные для практических расчетов.

Рассмотрим длинную оболочку вращения, по краям {s = О, s - L) которой действуют изгибающие моменты /Vf, н перерезывающие силы Л**, Л (рнс. 12 и 13).

Учитывая особенность длинных оболочек, в последующих преобразованиях отбрасываем функции р когда вычисляем величины, относящиеся к краю S \). vi функции Р при вычислении иелнчин, спио-сящихся к краю s = L.