Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Оболочки оптимальной конструкции 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

Для расслипрпваемоо случая (рис- 3). когда расстояние между двумя соответствующими точками Ai и А- - сувтествекно положкгель-иая величина, параметры А и В тоже должны Оыть положительными.

Полагая в формуле (3)

г г., - С

consl,

[[Олучим уравнение проекцни на общую касательную плоскость геометрического места точек поверхностей соприкасающихся тел, находя-н1ихся на расстоянии С одно от другого. Уравнение этого геометрического места принимает вид

Ах + Вг = С. (3)

Так как величины А н В положительны, то уравнение (5) представляет собой (рассматривая С> О как параметр) систему подобных эллипсов центры которых лежат в начале координат О.

Уравнение семейства подобных эллипсов можно представить в виде

С С

если ось X расположить по боль[11ей оси семейства, то -g-н, сле-

довательно, Л < В. При вычислениях по формулам (4) нужно большую величину принимать за В, а меньшую за Л.

Рассмотрим некоторые случаи касания тел,

Касание шара радиуса Ri д и у с а r2

J р о м р а -

Т01Да из формул (4)

А--В = ~

и, следовательно, кривые равныл расстоянии представляют собой окружности.

При соприкосновении шара радиуса с плоскостью величина R обращается в бесконечность и к = fe, - 0. Еми шар радиуса соприкасается со сферической полостью радиуса R, то величину R. и кривизны feai ~ К-1 нужно рассматривать как отрицательные. Расстояние .между соответствующими точками будет соответственно равно разности г, -

Касание цилиндров с ради у сям и R и R-s Ri оси которых взаимно перпендикулярны.

а-; 1.-0: .1--; hO; угол -,

cos 2tu - -1 и, сле.юнателькс.

т. в, П1 jriuicu,

Д [I у с ш = о,

111 /? V. кривые равных paccTOHimii представляют собой эт-i.OTOjii.ie при R, -- П, г.р1. )дят в ок1уж11ост1. сааие параллельных цилиндров с ра. а м и R, и R.iR,. В отличив от предыдущего слуаая угол cos 2fii - 1 и получаем

0; S - .

т. е. кривые равиы.ч расстояний представляют собой семейство прямых, параллельных оси х. уравиеггия [которых получают выражение

Если цилиндр раднзса R. соприкасается с нилиндрнческо)! полостью (впадиной) радиуса то кс.ипииу Rt н соответствующую

кривизну к

К а с а н 1! д и уса

нужно рассматр! I- 1U а р .1 р а л I

у с а к -

к отрицательную. /1 с цилиндром р а -

2Р [

(10)

Здесь кривые равных расстояний представляют семейство эллипсов. При ~ оо. т. е, при касании :иар;; с плоскостью, эл лиисы переходят в окружности, а при Rj - м. г. е. при касании ци лнндра с плоскостью, - в прямые, параллельные оси х.

Теперь определим деформации тел в местах контакта, неличинь. размеров п.кнц.члн контакта и давлен:!л. распреде.!?нного \\п этой пло щадн,

Пе[1С\1е1!1ение точки .4,. в жестко снязаниол на бесконечности с пео вым телом системой координат .v, у, (см, сер, 383). к. параллель(:(. Оси Zj. предстапляет собой 1н:ремен1,енне относительно недеформирона: ной части тела, распо.южснной далеко от области контакта. Псремеш. ние точки О первого тела, г, с, точки первоначального контакта (см. рнс. 3), обозначим черг-н Ui (0), Взаимное переметснне эти.х точек, вызванное деформацией те.1а. будет рэвк!. [laiiHOcrii пере.меше )<, [till (0) - i] - Аналогично хюжно найти взиимнос перемещение точек .4., и О второго тела l:: (U) - ю.].

До деформацш! расстоян1н> между соответствующими точками .4, н Ла, лежащими на одной вертикали, было равно гу + х.. После деформации это расстояние изменилось на величину

I::. ;0) - (0) -г),

ОчевиД1Ю. что при сжатии тел силами, действующими ,1Ло.1ь общей Оси Z. в соприкосновение нр11Д\-1 те точки, длв котормх :.,(0) r.-.J-b (щ. (Гг) i Ы<1 W г -г{0]\-{-и -г сед. (11)

13 CiTpaBOiiiMi.-, т, 2



Сумма переметший ы\ (0) и ttj (0) точек первоначального касании характеризует их нзаимное иеремещепие в целом или их сближение iS. Тогда

[wi (0) + [Иг (0)1 6 (12)

21 -1 z,b- ill

(13)

Зависимость (13) представляет собой уравнение перемеичиш ко,ь тактмо[( задачи. Если и сониадают с точкой первоначальна!-!) касания, то обе части уравнения обращаютсн в нуль. По мере удаления соответствующих точек и А от оси г левая часть зависимости воэр-стает и соответственно уменьшается в njiaBOii части член, содерж:;-щий [Wi + га)- Среди всех точек, приходящих в соприкосновеиие при деф(.)[1Л!ации тел, величина Zi -- 23 будет наибольшей у контурных точек плт);адки контакта.

Выше было установлено, что семейство кривых равных paccTOflinni

+ const (М)

прсдстанляет собой семейство подобных и подобно расположениы.ч эллипсом

Ах + Bt/ const. (1-.)

Это позволяет вывести заключение, что контур пющадки контакт;] иpeдcтaвJ]яcт собой эллипс, полуоси которого совпадают с полуося:.;.; эллипсов но выражению (15).

Учитывая, что размеры площади контакта малы по сравнению с об-нщми размерами соприкасающихся тел, можно использовать выражение (2) для определения упругих перемещений и w, представив их в виде

pdf ..... С pdF

W, к.

----- и

W, = к..

F - площадь контакта, т. е. площадь, ограниченная контурным эллипсом.

Храонеиие перемещений (13) можно, используя выражения (3) и (16). представить в виде

Ьрлннеиие (17) представляет собой интегралыюе уравнение относительно ]{еиэвестного закона 1аспределения давления р по эллиптической площадке контакта F. Кроме того, иодлежатопределению также размеры плошаяк)! контакта (большая а и малая h (юлуоси контурного эллипса) и величина сближения соприкасаюишхся тс.т.

Подберем закон распределения давле1П1я р, чтобы удовлетворить интегральному уранненик! (! 7).

Так как н центре э.тлиитичсской площадки ко[[такта перемещение )1аибольшее. то в этой точке будет и наибольшее давление р. Простраи-CTBeiinaa эпюра раснредел1нич давлений по эллиптической пло!Г[адке может быть представлена эллн)1саидом с полуосялш а, b и с*

т. с, п[)Имсм. что дав.1Сние р в п11оизвольной точке х, у площади контакта пропорционально ордннапс эл:и1исоида и выражается следуюи(им ра-Be-iCTBOM:

Из выражения (18) следует, что рассматриваемое распределение давления р по площади эллипса F = аЬ вполне определяется полуосями а и h и не зависит от третьей полуоси эллипсоида с. Выбор величины с определяет собой только [юрму элли)и:оида данлеЕипк по пе влияет на ne.iHHNv от!ющения

1- - -

.юиая си.!;н Р ян.чяется ракнодейстнующей давленнй по лло-ит:.кт;:

D ПОСЛ..,ПеМ Eh.

как объем полуэллппсоида. Следовательно,

в -{Ах + Ву} -- йо

зхаЬ

при распределении давления по эллипсоидальному закону наибольшее давление в 1,5 раза превышает среднее.

Предположение об эллипсоидальном распределении давления (18) позволяет выразить пр.чвую чиаь уравнения перемещений (17) в виде

Подробное обоснов.

padoie [31)1,



квадратичной зависимости от координат д: и у, т. е. виде, аналогичном лесой !асти того же ураБ1[ения. Другими словами, сделанное предноло-женне о распределении давления удовлетворяет интегральному уравнению (17) и позволяет определить как размеры площади контакта, так и величину сОлижепия.

\Ц-иияя часть уравнения перемещемнн (17) с использованием выра-жепня (18) после интегрирования и преобразований 30 принимает вид

Ь - (Ах -I- Bi/) - Ii аЬК - - Dx - (К ~ D] if

1 - 1 - V]

----h

Приравнивая свободные члены и коа1]41ии,иепты при л: и в левой правой частях равенства, получим

6 - г\роЬК;

А ПР.. -jr

3 = ,ift,-i-(A-0);

(21)

(22) (23)

здесь величина Л представляет собой эллиптический интеграл первогю рода

L - интеграл второго рода

D - их сочетание

DM- \К ) -

(24)

(24 а) (246)

Указа1шые эллиптические интегралы являются функциями относительного эксцентрицитета контурного эллипса плон1адки контакта

Исключал кз выражений (22) и (23), приходим к следующему трансцендентному уравнению для определения эксцептринит-ета:

(25)

показать, пспольэ\ го

k-2lA 8).

нетрудно показать, используя выражения (4). что

(26а)

После преобразования соотпощений (19) и (21)-(23) можно представить выражения длн полуосей эллипса, наибольшего давления р и сближения 5 о следующей форме;

большая полуось контурного эллипса

f г-

>

0 o.i ол 0.5 о,а

(27)

малая полуось контурного эллипса

Л 3 цР

(28)

наибольшая интенсивность давления рд между сжимаемым[1 телами

ПдПь

сближение 6 соприкасающихся тел

(80)

Задаваясь различными значениями е и используя таблицы полных эллиптических интегралов, можно определить по формуле (25) соответствующие значения отношепня-. Графическая зависимость

f {е) показана на рис. 4. Если обозначить сумму г1авных кривизн поверхностен соприкасающихся тел в месте первоначального контакта



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка