На [шлиилрическнх поверхностях (внутренней р == н

наружной ) - 1) должны выполняться граничные условия, т. е. напряжения о, и должны равр!яться заданным поверхностным силам: при р= Ii а, = (С), т, = т, (0; I

при р I о, = -р. (С), т = Та (С). I

Также должны быть выполнены условия гга торцовых поверхностях цилиндра:

при г = О а, = (р), т, = Тд (р), J

при г = I Oi (р), г.; = Т; (р). )

Исключая из уравнении (4) перемещен[1я и и w, получим дна уравнения совместности деформаций, выраженные через напряжения

(1 + V) (о, -а,) + Vf. (о, + а,) -р = 0; (7)

Р for - V0, - VOi) f

- 2 (I -f 4r = о- (8)

Первое из этих уравнении янляется усювием существоват!л функции радиальных перемещений и, второе - условием существования функпш! осевых перемеще[[нн w.

Система напряжений o,0(0 и т. удовлетворяющая уравнениям равновесия (1) и (2), уравнениям совместности деформации (7) и (8) и граничным условиям, представляет собой точное решение задачи.

Эта задача может быть сформулирована также в перемещениях. Для этого следует с помощью уравнений (4) выразить напряжения через перемещения и подставить н уравнения равновесия. Таким способом будут получены два уравнения в частных производных относительно перемещег!нй и и и).

Рассматриваемая задача является весьма сложной и ее решения (кроме элементарных), точею удовлетворяющие всем граничным условиям, неизвестны [5],

Если длина цилиндра нолика по сравнению с его днaieтpoм н напряженное состояние вблизи торцов не является пре,1метом исследования, условия на торцах достаточно удовлетворить по Сен-Венану.

В этом случае цилиндр можно рассматривать как имеющий бесконечную длину.

Точное решение для бесконечно длинного сплошного цилиндра, нагруженного ступенчатым норма.тьным давлением на боковой новерхности, получено в работе {9]. Испо.тьзуя метод суперпозиции, это решение можно использовать для расчета сп.юшного цилиндра при нормальной нагрузке, произвольно изменяю1цейся по длине.

В работах 5, 7] paccMorpeiibi так называемые однородные решения для СНЛ0Н1Н0ГС цилиндра, т. е. решения, соответствующие загружению осссимметр[1чной нагрузкой торцов цилиггдра при свободной боковой его 1юверхности.

К сожалению, система однородных решений не позволяет полностью удовлетворит], граничным условиям, на.тоженным на нормальные и касательЕ(ые нагрузки на торце. .Метод приближенного решения этой задачи пред.тожен в работе 151,

Для полого цилиндра выкладки, связанные с построением точных репгекий, становятся чрезвыча;:но С-Т1)жнымн и предпочтение должно быть отдано приближенным ]1еп1ениям задачи; методы таких решений приведены в работах [1, 2, 3, 6].

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Элементарные решения

Нормальное давление, изменяющееся по длине цилиндра по линейному закону. Если внутреннее pj и наружное р давления изменяются по линейному закону в зависимости от 1. то распределение напряжений в каждом поперечном сечении цилиндра совпадает с тем, которое имеет место ири постоянных по длине дав.тениях, т. е.

г (/!*- - Рг)

{7)-(9) гл. 15]. Напряжения i

- P-i) - также линейные функции [см. формулы поперечных сечениях цили[1дра отсутствуют

Легко нидеть, что указанная система напряжений удов.тетнорнег уравнениям равновесия (1), (2), уравнениям сов.мсстносги (7, S) и граничным условиям на цилиндрических новерхносгях;

прн р - ft Or - -Pi

при р - I а, - -Pj.

Торцы цилиндра при .этом свободны от напряжений. Рали, тьные перемещения

1севьк ;;,рсмеи1сния

Первый член в форму; (10) характеризует депланацию попереч-!!ых сечений цилиндра (одиЕгаковую л/тя всех сечений, так как А В - линейно зависят от t). второй - упругие их перемещения без искажения плоскости и третий - перемегиенне цилиндра как жесткого тела. Цилиндр, нагруженный постоянными по длине осевыми поверх-носгными силами фис, 2). Условия на боковых поверхностях в этом СТУчле таковы:

при p---k Ог - О. т,г при р=1 О;. -О, х,г=-т..

Решение задачи получим, пред-пол,]гая, что напряжения о, и Of везде отсутствуют, напряжение т, v,ic. -2 не зависит от 1, а напряжение О;

не зависит от р. Тогда первое из уравнений равновесия (1) удовлетворяется тождественно, а второе приводит к равенству

где С - постоянная.

Интегрируя это раееиство и определяй постоянные из условий (И) на иоверхностн. получаем

(12)

1 -

С, =

(т - Ьт,) к 1 - Ь=

(13)

Величина постоянеюй Сп зависит от того, на каком торце приложена осевая нагрузка, уравновешивающая равнодействующую Р = = 2лР1 (Та - йт]), воздействующих на боковую поверхность цилиндра касательных сил, Если эта нагрузка приложена на торце г = I. а торец г = о свободен от нормальных напряжений. Са ~ 0.

Перемещения определяются равенствами

а=--~-(Сг- 2Cf) р; ]

te = ~ 1С (р, - 2 (I + V) С, In р + С,; + с J

где Сц - постоянная, определяюоая перемеще[!ИЛ цилиндра как жесткого тела.

Синусоидальная нагрузка на цилиндр

Педполаг;1ем, что нагрузки на цилиндрических поверхностях заданы ныражениями:

прн г Гу о, - -cos т,г = 7 i sin Pi;

г = A> а, = -Р. cos т., Т, .in

Следовательно, рассматриваем симметричное относнтелыю сечения £ о иагружение.

Все приведенные ниже формулы пригодны и длн кососимметричпой нагрузки, если заменить в них cos {it, и sin fi соотЕетственно иа sin и (-cospQ.

Выражения для перемещений, зададим в форме

1С RW sin и - RU cos \%.

{(б)

где W w и - искомые функции безразмерного р.1Днуса р.

Подставив принятые выражения перемещений н формулы (3) для деформаций, а затем вычислив по saiiony Гука напряжения, следует гютребовать выполнения ypaBneHnii рапновссня (1) и (2),

Таким способом получаем систему двух обыкновенных дифферел-циальпых уравпени!! для функций U (р) н W (р):

i. L )+ 2v)(r-J-№ )--2 (1 -V) РГ = 0;

(1 -

- (1 - 2v) рг- РЧ-- - о,

где штрихами обозначены производные по р.

Исключая из этой системы одну из функций, например tj, приходим к уравнению четвертого порядку

- ( . oriij ц:

~ р

которое может быть представлено также в виде

/<( I d аЛ , 1 в> -.Л п

(18)

(19)

Общим решением этого уравнения является выражение W --- с,/ (рр) + СКо (Рр) -i- (Рр) С,рК, (Рр);

(20)

здесь (Рр) = /V, ((рр) - бессслена функция от мнимого аргумента; кп (Рр) - функция Макдональд;] (при р - о ((]ункции Ки и Al обращаются в бесконечность) .

Функция и определяется равенством

и -с,/, (Рр) + ел, (Рр) j с, [~р. (Рр) : lii /, (Pp)j +

-i с, \рК, (Рр) г Г а-, (Рр)1 , (21)

[ 1ап)яжот1я в ци,1нндре нпчоднг из пЫ)аж(ии1

a,=M(pC,(i/,-/.)-pc,(JA-, I ) +

н С, [(3-2v); -((V-

- г, [(3-2V) Кп I (h<

4 О - у) \

+ -я

1(1- у)

- рр

-/,-(1 -2v)/ i

А, -~ (1 -2v) Д-о

cos рг;;

(22)

а, 20 (С,р; + СМ, С, фр!, - 2v/ ) + - С. (Pp.d - 2vA;,)1 cos PS: т - 20 {CiP/, -СгРК, + Сз Ipp/j -2 (1 -v) /il - - С. РрЛ - 2 (I - v) Alli sin p;.

В формулах для намряжеиин apiyrviCHT Рр бессслевых функций для краткости оп\щсн. Гр::ничиые усчоиия (15) приводят к системе четырех линейных а.чгсбраическнх уравнений относительно постоянных Cj-С4.

В общем случае полого цилиндра рыкладки являются сложными; они существенно упрощаются для цилиндра сплошного; в этом случае должны равняться нулю коэффициенты С. и С4 при функциях, обра-шаюгпихся в бескокеч1и1сть при р О,

Постоянные С, и Cj для сплошно1о цилиндра определяют из уравнений

-L (P + 4 - 4v) /, (Р) - (-3 2v) / (Р)] } ; (23)

(- -,-= 2(;ду {PP/i (Р) Г [/1 (Р) - Ро (Р)1). где

D (Р) - (Р- 2 2v) (Р) - р-/5 (Р)- (24)

Значительный интерес представляет случай большого 3, т, е. на-rpv3K(i, быстро изменяющейся по длине цллнядра.

Люжно показать, что если д,и1на волны нагруз1си мала по

сравнению с радиусом R цилиндра, деформации и напряжения локализуются вблизи новерхности цили](дра, не проникая вглубь. При этом, в нределе. ранение задачи д.ш цилиндра переходит- в решение соответствующей задачи плоской деформации для нолуплоскости.

Несннусондальиа:

1гру.1ка сплошного цилиндра

Решение в рядах Фурье. Г1роизполь!1ая нормальная и касательная нагрузка, распределенная по длине 2L цилиндра, может быть представлена н виде тригонометрического ряда

{т.г)..,-У Г, sH. fU.

(251

J=-

Приведенные выражения относятся к симметричной относительно сечения и = О наг])узке. Как уже указывалось длн кососнммстричной нагрузки. CO.S Z. и sin PC должны быть зам1:нены на sin (i и (-cos PQ. Нагру.чка ро вызывает [!апряжения и деформации, определяемые формулами Ляме, а каждый из послед,уюи1Их членов разложения - в соответствии с приведе!1ными выше формулами.

Следовательно, в каждом частном случае нагрулсеник з<)дача соо-дится к суммированию соответствующих рядов.

Эффективные приемы такого суммирования рассмотрены в работе [5 ], гл. 7. § 5.

Указанный метод расчета использован в работах Л. Файлона [J0] и \. Варюна [111, и которых приведены числовые результаты для ряда частны!( случаев нагружения.

Так, например, Л. Файлов исследовал распределение осевых напряжений Ог в цилиндре длины 2L - aR. нагруженном равномерно

распределенными касательными силами на участках---<г<

<-и L<z<i~L (рис. 3). Отношение напряжения

с.рии упругосга