Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Оболочки оптимальной конструкции А. И. Лурье предложил для приближенного реи1ения задачи ири ограниченном числе п учитываемых членов ряда определять коэффициенты Als, Лв из условия минимума выражения Это условие приводит к системе лниейиых уравнений относительно искомых коэффициентов. Прн /1=2 коэффициенты определяют по формулам Л), = 2,391ф, - 0,4256ф, - 4,222i), - О.ШЗОЧ!; Мг = -0,4256ф, + 0.9730фа + 1.67,4*, - 0,72l5<tj; Ni = -4,222ф1 + 1,675ф, + 12,44il:i + 0,20181>2; Л-., = -0,1830ф, - 0,7215фг + 0,2018iJ;, -г 1.360фг. Ф, = j I f (1 of - - Ф (р) ] р dp; 1 (f = - f IF ()) a;- - Ф IP) t;- 1 p dp S (s = 1. 2). - Ч - (О + г, (С) Il (Р) + 2 К) 1г (Р), (27) (28) (р). 2 (f) - зада[1ные функции р, равные нулю прн р = ft н р 1; 2i (С), 2 {) - искомые функции. Первых два слагаемых выражения (27) позволяют удовлетворить условиям, наложенны.м на касательные напряжения на поверхностях р ft ii р = 1; они представляют собой точные значения указанных напряжений, если нагрузки х, и постоянны [см. формулы (12)1. Последующие члены формулы (27) соответствуют напряжениям, возникающим в связи с изменением по длине цилиндра касательных н нормальных нагрузок. Функции Ф, Z. V представлены в виде производных от первообразных функций Ф, Z, V для упрощения выкладок. Увеличение числа учитываемых членов ряда (27) приводит к увеличению точности расчетов, однако прогрессивно возрастает и их трудоемкость. Удов.1етворительную точность расчета достигают ири удержании двух функа:1й Zi II Z;.. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ Основные уравнения Летоды реи1сния, основанные на точном выполнещ! уравнений теории упругости для полого цилиндра, не отличаются от методов, рас-смо1ренных выше применительно к цилиндру сило1иному. Решение также может быть разложено в тригонометрический ряд или представ-ле1Ю в виде интеграла Фурье. Однако трудоемкость вычислений возрастает в такой степени, что получение количественных результатов становится затруднительным. Мож1ю указать лишь работу Г. С. Шапиро [8], в которой получены некоторые числовые результаты для полого цилиндра, нагруженного равномерным давлением на участке боковой поверхности. Для полого цилиндра следует отдать предпочтение более простым приближенным методам. Ниже кратко изложен такой метод [1, 3, 6. Рассмотрим цилиндр с наружным радиусом R, внутренним г, нагруженный ]ia цилиндрических поверхностях нормальными и касательными силами Pi (г), {г) (на внутренней поверхности), р {г), {z) (на наружной поверхности). Введем безразмерные координаты - р, = t- Отношение радиусов обозначается - ft. Решение может быть использовано при 0,2 < ft < 0,9. При ft 0,9 цилиндр можно рассматривать как тонкую оболочку (см. гл. 22 т. I). Выражение для касательного напряжения зададим в виде ряда Il (Р) - 2(1+4 р +3(1-1-4 + 18(1+4) к) f * (3 + * + *) - 61; 1 --] ; V, (j) = 4 (р - fe)Ml - Р) + -!{p-kf{i-k-2р), (29) где л - коэффициент, не зависящий от р. При заданном законе изменения тг можно, интегрируя уравнения (1) к (2) с учетом уравнения совместности (7), получить значения всех компонент напряжения и радиального перемещения. При ннтегри рованин учитывают, что ири р fe = -р (С) и прн р - 1 Ог ~ = -Pi (с). По,.1учснные формулы имеют вид о, = -2Ф, m-z, -i- (p)i) (рК); a, = л (С) - в (?) - а>; ю (3 + V) (1 - р) (р - ft) + Ф2(Е) - In-!--- Р I (I - Р) (1-/;) i.-ipdp-ii(p)-A(i--) о, = л(о + в(о-1- + Ф;(а-дх X 1(3 + V) {к + p + kV) - (1 + 3v) p] -, - J(HllliP!+ii) , 1 + y,(i+il)-vi/.--iKipdp (30) Вариационный метод расчета полых цилиндров - (Р - -р-к- -г к-) -i <I>;(0-g~rl[3-* +v(l-F);< X Ipi + fti , (p3 JJ)J (1 .2) X (p! - *-)=] + 2vф (Q Л-+ v.(l + v)-L + X ( ViP Jp В приведенных выше формулах (30) (31) Величина -(С), входящая в формулы для Oj и , представляет собой равномерно распределенное по поперечному сечению цилиндра напряжение, соответствующее нормальной силе Л в этом сечении: л/е (1 ~к) Найденные напряжения удовлетворяют уравнениям равпоеесня и граничным условиям на цилиндрических поверхностях. Также выполняется уравнение совместности (7). Уравнение совместности (8), т. е. условие существования функции ш, точно ке выполняется. В соответствии с вариационным принципом Кастилиано [4 нанлуч-щее приближение может быть достигнуто при экстремальном значении энергии деформации. Выразив удельную энергию дсформащ1И через напряжения и проинтегрировав ее по всему обьему цилиндра, приходим к выражению В качестве функций V, (р) и V., (р) в работе 17] ириияты выражения
полной энергии в виде функционала, зависящего от неизвестных функций Zi ч Za- Условия стационарного значения этого функционала (уравнения Эйлера) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно и Z3. Надлежащим выбором коэффициента Я в формуле (29) можно добиться того, чтобы эти два уравнения стали практически независимыми. Соогкстсгвующне значения Л (при v = 0,3) приведены в табл. 3. Уравнения принимают вид fl (P (- iPi + Wi) (%Ti + 4,T,) + (32) (33) Вариационный метод расчета полых цилиндров (-п Значения входящих в эш выражения числовых коэффициентов приведены в табл. 3. Для облегчения интерполяции в таблице ]риведеиы
0.1 0,6 0,1 Рис. 8 siittO 1/-ц 3* 4! гг 30 ; гг о о.г o.i 0,6 Рис. 1,9 О 0,1 0, о/ ?,а Рис. iil не сами значения коэффициентов, а их пронзведен(тй на (I - к) в различных степенях. Графики зависимости коэф([)йциен7ов пи q qt к приведены на рис. 8 н 9. Характеристические уравнения, соответ-ствуюище дифференциальным уравнениям (32) и (33), имеют корни х±а± fir,
где a = Ym- -- s-\ fi - - s. Изменение этих ве.чнчин в зависимости от ft показано на рис. 10 и И. о 0,1 0,f 0,5 Практическую важ1Юсть имеют лии]ь затухающие с увеличением С рещения уравнений (32) и (3.3). П дальнейшем будут использованы следующие функции, являющиеся peцleIHlяиl у1;авнеиия (32) без правой части: S, (-) = ЯП (Pi: + fl); bill 9i 2 (?) =--г - S\ Q) = - 2mj mi У 2 i sin P,:; S, (C) - i; (;) - sin (P,; - 4i): . Коэффициенты ypilBHCIIHli (32) н
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |