Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Оболочки оптимальной конструкции 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77


А. И. Лурье предложил для приближенного реи1ения задачи ири ограниченном числе п учитываемых членов ряда определять коэффициенты Als, Лв из условия минимума выражения

Это условие приводит к системе лниейиых уравнений относительно искомых коэффициентов.

Прн /1=2 коэффициенты определяют по формулам Л), = 2,391ф, - 0,4256ф, - 4,222i), - О.ШЗОЧ!; Мг = -0,4256ф, + 0.9730фа + 1.67,4*, - 0,72l5<tj; Ni = -4,222ф1 + 1,675ф, + 12,44il:i + 0,20181>2; Л-., = -0,1830ф, - 0,7215фг + 0,2018iJ;, -г 1.360фг.

Ф, = j I f (1 of - - Ф (р) ] р dp; 1

(f = - f IF ()) a;- - Ф IP) t;- 1 p dp

S (s = 1. 2).

- Ч - (О + г, (С) Il (Р) + 2 К) 1г (Р), (27)

(28)

(р). 2 (f) - зада[1ные функции р, равные нулю прн р = ft н р 1; 2i (С), 2 {) - искомые функции.

Первых два слагаемых выражения (27) позволяют удовлетворить условиям, наложенны.м на касательные напряжения на поверхностях р ft ii р = 1; они представляют собой точные значения указанных напряжений, если нагрузки х, и постоянны [см. формулы (12)1.

Последующие члены формулы (27) соответствуют напряжениям, возникающим в связи с изменением по длине цилиндра касательных н нормальных нагрузок. Функции Ф, Z. V представлены в виде производных от первообразных функций Ф, Z, V для упрощения выкладок.

Увеличение числа учитываемых членов ряда (27) приводит к увеличению точности расчетов, однако прогрессивно возрастает и их трудоемкость. Удов.1етворительную точность расчета достигают ири удержании двух функа:1й Zi II Z;..

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ Основные уравнения

Летоды реи1сния, основанные на точном выполнещ! уравнений теории упругости для полого цилиндра, не отличаются от методов, рас-смо1ренных выше применительно к цилиндру сило1иному. Решение также может быть разложено в тригонометрический ряд или представ-ле1Ю в виде интеграла Фурье.

Однако трудоемкость вычислений возрастает в такой степени, что получение количественных результатов становится затруднительным. Мож1ю указать лишь работу Г. С. Шапиро [8], в которой получены некоторые числовые результаты для полого цилиндра, нагруженного равномерным давлением на участке боковой поверхности.

Для полого цилиндра следует отдать предпочтение более простым приближенным методам. Ниже кратко изложен такой метод [1, 3, 6. Рассмотрим цилиндр с наружным радиусом R, внутренним г, нагруженный ]ia цилиндрических поверхностях нормальными и касательными силами Pi (г), {г) (на внутренней поверхности), р {г), {z) (на наружной поверхности).

Введем безразмерные координаты - р, = t- Отношение

радиусов обозначается - ft.

Решение может быть использовано при 0,2 < ft < 0,9. При ft 0,9 цилиндр можно рассматривать как тонкую оболочку (см. гл. 22 т. I). Выражение для касательного напряжения зададим в виде ряда



Il (Р)

- 2(1+4 р +3(1-1-4 +

18(1+4)

к) f * (3 + * + *) - 61; 1 --] ; V, (j) = 4 (р - fe)Ml - Р) + -!{p-kf{i-k-2р),

(29)

где л - коэффициент, не зависящий от р.

При заданном законе изменения тг можно, интегрируя уравнения (1) к (2) с учетом уравнения совместности (7), получить значения всех компонент напряжения и радиального перемещения. При ннтегри рованин учитывают, что ири р fe = -р (С) и прн р - 1 Ог ~

= -Pi (с).

По,.1учснные формулы имеют вид

о, = -2Ф, m-z, -i- (p)i) (рК);

a, = л (С) - в (?) - а>; ю

(3 + V) (1 - р) (р - ft)

+ Ф2(Е) -

In-!---

Р I

(I - Р)

(1-/;)

i.-ipdp-ii(p)-A(i--)

о, = л(о + в(о-1- + Ф;(а-дх

X 1(3 + V) {к + p + kV) - (1 + 3v) p] -, - J(HllliP!+ii) , 1

+ y,(i+il)-vi/.--iKipdp

(30)

Вариационный метод расчета полых цилиндров - (Р - -р-к- -г к-)

-i <I>;(0-g~rl[3-* +v(l-F);<

X Ipi + fti , (p3 JJ)J (1 .2)

X (p! - *-)=] + 2vф (Q Л-+ v.(l + v)-L +

X ( ViP Jp

В приведенных выше формулах

(30)

(31)

Величина -(С), входящая в формулы для Oj и , представляет собой равномерно распределенное по поперечному сечению цилиндра напряжение, соответствующее нормальной силе Л в этом сечении:

л/е (1 ~к)

Найденные напряжения удовлетворяют уравнениям равпоеесня и граничным условиям на цилиндрических поверхностях.

Также выполняется уравнение совместности (7). Уравнение совместности (8), т. е. условие существования функции ш, точно ке выполняется.

В соответствии с вариационным принципом Кастилиано [4 нанлуч-щее приближение может быть достигнуто при экстремальном значении энергии деформации.

Выразив удельную энергию дсформащ1И через напряжения и проинтегрировав ее по всему обьему цилиндра, приходим к выражению

В качестве функций V, (р) и V., (р) в работе 17] ириияты выражения



К.эффи;1иенты

к - 0,1

к -- i),G

к 1,0

88.133

00,292

16,723

39,353

1,93

1,33

1.06

0,915

0,680

0,545

11,4

6.75

5,42

4,55

3,40

2.72

4,40

7,90

9,15

9,У5

11.2

12.0

22, G

15,5

14,4

12,9

12,0

а, Ц-к)>

22,9

17,1

13,8

11,0

6.71

3.60

Ь, (1-й)

36.9

33,5

3,74

-1.0!

-3,00

-2/IS

-2,57

-2,37

-1,12

d, (1-А)>

-7.29

-4,58

-2.75

-1,28

8.55

0,60

6.35

С,20

6,05

6.00

г4(г-:)*

13.4

28,9

3-\6

35,1

39,1

42,1

-Й2,9

-53,4

-50,9

-48,0

-45,2

-42,1

-106

-183

-17li

-171

-3,0

-2.43

- 1,86

-!,25

7,63

3,89

2,56

1,6i)

м,;йо

полной энергии в виде функционала, зависящего от неизвестных функций Zi ч Za- Условия стационарного значения этого функционала (уравнения Эйлера) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно и Z3.

Надлежащим выбором коэффициента Я в формуле (29) можно добиться того, чтобы эти два уравнения стали практически независимыми. Соогкстсгвующне значения Л (при v = 0,3) приведены в табл. 3. Уравнения принимают вид

fl (P (- iPi + Wi) (%Ti + 4,T,) +

(32) (33)

Вариационный метод расчета полых цилиндров (-п

Значения входящих в эш выражения числовых коэффициентов приведены в табл. 3. Для облегчения интерполяции в таблице ]риведеиы

п,(1-

0.1 0,6 0,1 Рис. 8

siittO 1/-ц

3* 4!

гг 30 ; гг

о о.г o.i 0,6

Рис.

1,9

О 0,1 0, о/ ?,а

Рис. iil

не сами значения коэффициентов, а их пронзведен(тй на (I - к) в различных степенях. Графики зависимости коэф([)йциен7ов пи q qt к приведены на рис. 8 н 9.

Характеристические уравнения, соответ-ствуюище дифференциальным уравнениям (32) и (33), имеют корни

х±а± fir,

i i 1

-m-k)-\-

i i

где a = Ym- -- s-\ fi - - s.

Изменение этих ве.чнчин в зависимости от ft

показано на рис. 10 и И. о 0,1 0,f 0,5

Практическую важ1Юсть имеют лии]ь затухающие с увеличением С рещения уравнений (32) и (3.3).

П дальнейшем будут использованы следующие функции, являющиеся peцleIHlяиl у1;авнеиия (32) без правой части:

S, (-) = ЯП (Pi: + fl);

bill 9i

2 (?) =--г - S\ Q) = -

2mj mi У 2 i

sin P,:;

S, (C) - i; (;) -

sin (P,; - 4i):

. Коэффициенты ypilBHCIIHli (32) н



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка