N ( \

(14.6)

Рис. 14.3

Сложив левые и правые части уравнений системы (14.5), получим

2Л;=Л+7+7,. (14.7)

Моменты инерции относительно координатных плоскостей Оху, Oyz, Oxz соответственно равны:

N N N

J Оху = Ykl оу2 = Ък4 ; Joxz = YkVl (14.8)

=1 к=\ к\

Из (14.6) и (14.8) следует зависимость

л; - *Оху *Оу2 *()Х2

Для тела, имеющего непрерывное распределение массы, осевые моменты инерции относительно осей координат определяются интегралами по массе М\

Л= J= \[x+z)dm,J, \[x+y)dm.

14.3. Зависимость моментов инерции относительно параллельных осей (теоремаГюйгенса-Штейнера)

Найдем зависимость между моментами инерции механической системы относительно параллельных осей Oz и CZ (рис. 14.4).

Рис. 14.4

Выберем две системы прямоугольных декартовых координат Oxyz и CXYZ, оси которых параллельны, а точка С - центр масс системы. Моменты инерции относительно осей Oz и CZ будут соответственно равны

к=] к=\

Координаты точки в рассматриваемых системах связаны уравнениями

х =Х+Х(,; Л=)+Л-Подставив в выражение для Jq эти соотношения, получим

к=\ к=\

-УсТкУк +{4Ус)Ек

л л*

Здесь /;; =М - масса системы; тЛ = MY = О,

Y,hk =Щ =0,так как Х =7. =0; + у1 =d\d-paC

стояние между осями Oz и CZ. Окончательно имеем

л>г = cz + Jd. Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы Гюйгенса-Штейнера, которую можно сформулировать так: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно паралчельной оси, проходящей через центр масс системы, и произведения массы системы на квадрат расстояния между параллельными осями.

14А. Моменты инерции однородных тел

Стержень постоянного сечения

Момент инерции однородного стержня массой М и длиной / (рис. 14.5) относительно оси Oz будет J. = jydm. Так как

плотность материала стержня р2= -, а dm = p2dl = - dy, то получаем