где Jx Лт.Jczd - главные центральные моменты инерции тела, его масса и расстояние между осью 01 и параллельной ей осью С1\ проходящей через центр масс тела.

14.8. Свойства главных осей инерции тела

Теорема 14.1. Если одна из осей координат, проведенных в точке, является главной осью инерции тела для этой точки, то два центробежных момента инерции, которые содержат индекс главной оси инерции, равны нулю (рис. 14.20).

Рис. 14.20

Доказательство. Пусть ось OZ является главной осью инерции для точки О, т. е. одной из осей симметрии эллипсоида инерции, построенного для этой точки тела. Проведем в точке О две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные оси OZ оси Ох и Оу. Уравнение эллипсоида инерции в этих осях имеет вид

Лх + +JyZ- IJyXy - 2J xZ - 2Jy,yZ = 1.

Так как OZ - ось симметрии эллипсоида инерции, то найдутся в плоскости OxZ точки Л/(х, О, Z) и М, (-х. О, Z), лежащие

на поверхности эллипсоида. Координаты этих точек удовлетворяют равенствам

J,x+JZ-2J,xZ = l;

jy JjZ lj\xZ\. Вычитая из второго уравнения первое, получаем

Так как л: и Z не равны нулю, то = О. Аналогично рассуждая для двух точек, расположенных в плоскости OyZ, можно показать, что и Jуу = О.

Замечание 1. Уравнение эллипсоида инерции в осях Ох, Оу, 0Z принимает вид

J,x + Jyy + jy - IJxy = 1. (14.20)

Замечание 2. Среди осей, перпендикулярных между собой и оси 0Z, находятся главные оси инерции OAи ОУдля точки О.

Определим положение этих осей из условия J= О. Координаты Х, У и , материальной точки Mf, массой т(см. рис. 14.20) связаны между собой следующим образом: Х = х, cosa + у sina , У = -х sina + у, cosa . Координата Zf, при повороте осей Ох, Оу не изменяется.

Вычислим центробежный момент инерции Jху

Уду = ] rrtfXf У = ] cosa + у sin аХ- sin а + у cosa) = sin2a / , ,\ .Л

где Ymi\x\y\y -Д-* + *)= л +

Проведя преобразование и приравняв нулю Jху, получаем выражение sin 2а i

-(j,-J)+Jcos2a = 0,

из которого находим при JJy ct = - рад, а при J Jy ct = - arctg- .

4 2 Jy-J

Замечание 3. Справедливо обратное утверждение: при J=Jy=0 ось OZ

является главной осью инерции.

Действительно, при J = = О уравнение эллипсоида инерции имеет вид

(14.20), а следовательно, ось 0Z- главная ось эллипсоида инерции, т. е. главная ось инерции тела для точки О.

Теорема 14.2. Главная центральная ось инерции твердого тела является главной осью инерции для всех своих точек.

Доказательство. Пусть ось CZ есть главная центральная ось инерции тела. Проведем через центр масс тела С две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные оси CZ оси Сх и Су (рис. 14.21). Тогда

J.z-Jyz=\\ =Ус=- (14.21)

Рис. 14.21

Выберем на оси CZ произвольную точку О и покажем, что ось CZ является главной и для точки О. Проведем в точке О оси Ох, и Оу параллельные осям Сх и Су\ ОС = Ъ . Координаты произвольной точки массой /w следующие: = х, >, = , zi -Z - b. Необходимо доказать, что центробежные моменты инерции относительно осей Ох OZ(z,) и Оу OZ(z,) равны

нулю. Это будет означать, что ось CZ есть главная для точки О. Имеем

к=\ л=1

= .кУк2к -Sit =Jyz-ЬМу.,

(14.22)