с учетом (14.21) из (14.22) следует J = y.z = О, что и доказывает теорему.

Замечание. Главная ось инерции, не проходящая через центр масс тела, является главной осью инерции только для одной точки (рис. 14.22). Пусть теперь ось OZ - главная ось инерции для точки О, т. е. J = = центр масс тела не лежит на этой оси (О, у-9 О), тогда, согласно (14.22), J2 - -ЬМХ(, = -ЬМу(. Эти центробежные моменты не равны нулю. т. е. ось 0Z не является главной для точки (9,.

Рис. 14.22

Теорема 14.3. Если тело имеет ось материальной сгшмет-рии, то эта ось является главной центральной осью инерции этого тела.

Доказательство. Пусть ось Oz является осью материальной симметрии тела, тогда центр масс С лежит на этой оси (рис. 14.23). Проведем через центр масс С две перпендикулярные между собой и перпендикулярные оси Cz оси Сх и Су. Докажем теперь, что центробежные моменты J и ./, равны нулю. Всегда можно найти материальные точки тела и М; с равными массами , т\, симметрично расположенные относительно

Рис. 14.23

оси Cz. Координаты этих точек соответственно х, >, и -jc, -7, . Для и N\ с равными массами и т\ соответственно имеем л*, -yi, z и - , у, z. Тогда

=1 (I) (II) -Цщкк Yu<k)k + .-.=0,

(III) (IV)

где I, II, III и IV - соответственные части тела. (Аналогично записываются суммы для точек, лежащих ниже плоскости Сху.) Так же можно доказать, что J, = О.

Итак, ось Cz является главной центральной осью инерции тела.

Теорема 14.4. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции тела в точке пересечения прямой с плоскостью симметрии.

Доказательство. Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Р (рис. 14.24), Проведем ось Oz перпендикулярно этой плоскости Р; точка О - точка пересечения оси Oz и плоскости Р.

Рис. 14.24

Проведем взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, лежащие в плоскости Р. Докажем, что центробежные моменты инерции J и

Jy. равны нулю. Так как плоскость Р есть плоскость материальной симметрии тела, то для каждой материальной точки тела с массой /w и координатами , , найдется точка М[ равной массы с координатами , , - . Тогда

/t=i (I) (II)

Аналогично можно доказать, что Jy = О. Следовательно,

ось Oz является главной осью инерции тела в точке О.

Замечание L Центр масс тела С лежит в плоскости материальной симметрии, ось Cz является главной центральной осью инерции тела.

Замечание 2. Если тело однородно, то плоскость или ось материальной симметрии являются просто плоскостью или осью геометрической симметрии.

14.9. Определение направления главных осей инерции

Пусть в точке О тела проведена произвольная система координат Oxyz. Уравнение эллипсоида инерции в точке О имеет вид

2F{x,y,z) = jy -иуху-

-2Jxz-2Jyyz-l = 0,

т. е. тензор инерции для этой точки будет J.

Определим направления главных осей инерции и главных моментов инерции для этой точки О (рис. 14.25).

Выберем в качестве осей координат в точке О оси ОХ, OY, OZ, направленные по главным осям эллипсоида инерции в точке О. Тогда радиус-вектор г точки М, лежащей на главной оси инерции и поверхности эллипсоида инерции, совпадет по направлению с вектором нормали к эллипсоиду.

Направления осей определим из уравнения

gradF = Хг

- = Ъс; - = Ху; - = Xz. (14.24)

дх ду oz