где - ускорение к-й точки; F/ , F/ - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на к-ю точку.

Просуммируем уравнения (15.14) по всем точкам механической системы:

i =i/+i/- (15.15)

к=\ к=\ к=\

Здесь главный вектор внутренних сил R = Х/

Продифференцировав дважды по времени выражение (14.1) для определения радиус-вектора центра масс системы, получим

Mvc=fm,v (15.16)

Ma,=fm,a (15.17)

где - абсолютная скорость центра масс системы. С учетом (15.17) уравнение (15.15) примет вид

Л/а,. =иЩ=К\ (15.18)

где i? = Х/ - главный вектор внешних сил, действующих

на механическую систему.

Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: центр масс механической системы движется как материальная точка, как бы обладающая массой системы, под действием системы всех внешних сш, действующих на точки системы.

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат уравнения (15.18) имеют вид

Мх, = tFif> ; My, = tF ; Mz, = F) , (15.19)

k=\ k=\ k=\

где x, , - проекции ускорения a центра масс механической системы.

Из теоремы о движении центра масс вытекают два следствия.

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т.е. i?=0, то из (15.18) следует, что

= - = О, откуда после интегрирования получаем dt

Vr= = C,. (15.20)

Интегрируя (15.20), находим

=С,/ + С2. (15.21)

Постоянные С С2 определяем из начальных условий: при / = О =Г(о, V( =V(o- Для текущего момента времени при i? =0 окончательно имеем

Таким образом, если главный вектор внешних сил, действующих на точки механической системы, равен нулю, то центр масс механической системы движется прямолинейно и равномерно.

Если = О, т. е. центр масс в начальный момент времени находится в покое, то

vr=0, f,.=f,. (15.22)

Т. е. центр масс покоится в течение всего времени движения системы при условии, что Л = О.

Замечание. Воспользуемся условием (15.22) и запишем для текущего и на-

n n

чального положений механической системы Мr = тг и Mr-q = тго

к = \ к=\

(см. рис. 15.2). Вычитая из первого выражения второе, получаем

Ykik - io) = щк = о.

к=\ к=\

Следовательно, отдельные точки системы могут перемещаться при R* = О и покоящемся центре масс.

2. Пусть теперь проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на одну из осей (например, ось Ох)

равна нулю i? =Хь тогда из первого уравнения (15.19)

следует а,. = Зс = О, а значит v,. = х = С л:,. = Ct + Cj.

Постоянные определяем из начальных условий: при t = 0 х. = X(-Q, v,. = = . Для любого момента времени при

RJ = О окончательно имеем

Если XfQ = О, т. е. проекция скорости центра масс на ось Ох в начальный момент времени равна нулю, то

Хс=0, Хс =Хсо (15.23)

в любой момент времени.

Замечание. Воспользуемся условием (15.23) и, согласно (14.2), запишем для

текущего и начального моментов времени Мх = Пкк со = кко

*=1 к=\

Вычитая из первого уравнения второе, получим

;m,(,-,o) = S .Ax,=0. (15.24)

Из уравнения следует, что перемещение к-й точки Ах = - о вдоль оси Ох существует при Л]* = О и отсутствии перемещения вдоль этой оси центра масс.

Пример 15.1. Тело У массой т, имеет паз, в котором движется материальная точка 2 массой , ZOAB = а , ОА = / (рис. 15.3, а).

Определить силу, с которой тело 7 действует на плоскость, и скорость тела У в момент, когда точка 2 достигнет конца паза (точки А), если в начальный момент система покоилась, а точка 2 находилась в верхней точке паза. Трением пренебречь.

Решение. Внешними для рассматриваемой системы являются силы тяжести Р\= mg , /2 = fiS и нормальная реакция . Воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и запишем уравнение

В проекции на ось Оу имеем