т-= г

или, так как масса точки постоянна,

d(! = F. (15.26)

dt dt

Уравнение (15.26) выражает теорему об изменении количества движения для точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от вектора количества движения точки равна равнодействующей активных сил и реакций связей, действующих на материальную точку,

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем

dqp dt dt dt

Согласно уравнению (15.26),

d(mv) = dq=Fdt. (15.27)

Таким образом, дифференциал количества движения точки равен элементарному импульсу равнодействующей силы, действующей на точку,

В проекциях на оси координат получаем

dq = Fdt; dqy = Fydt; dq. = FJt.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (15.27) в пределах от О до /:

\d{mv)=\Fdt,

Vo о

Тогда

mv-mvo =S(F), (15.28)

где V , Vq - абсолютная скорость точки в текущий и начальный моменты времени соответственно (рис. 15.7); S(F) - полный импульс равнодействующей силы за время

Уравнение (15.28) выражает теорему об изменении количества движения точки в интегральной форме: изменение количества движения точки за промежуток времени от О до t равно пол-

ному импульсу равнодействующей сшы, действующей на точку, за тот же промежуток времени.

Рис. 15.7

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем

Теорема об изменении количества движения механической системы

Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде

откуда получим

dt dt

= £f/ (15.29)

Окончательно имеем

dt ых

Уравнение (15.29) выражает теорему об изменении количества движения механической системы: первая производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сш, действующих на материальные точки этой системы,

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат уравнение (15.29) имеет вид

05.30)

dt dt tx dt

T. e. первые производные по времени от проекций количества движения механической системы на оси координат равны сумме проекций внешних сил, действующих на точки системы, на эти же оси координат.

Из уравнения (15.29) получим еще одну дифференциальную форму теоремы

= I Fidt = f ). (15.31)

Таким образом, дифференциал количества движения механической системы равен сумме элементарных импульсов внешних сш, действующих на материальные точки системы.

В проекциях на оси координат имеем

dQ.-t,Fbdt, dQ,=tF;dt, dQ, =fFJ;:4t.

k=\ k=\ k=\

Проинтегрируем (15.31) no времени в пределах от О до / и поменяем местами операции интегрирования и суммирования:

о, 0*=1 *=10 *=1

Q-Qo=JlSJt- (15.32)