Здесь Q = rn,Vj, Qq mfVjq - соответственно количества

движения механической системы в произвольный и начальный моменты времени; 5/* - полный импульс внешней силы, действующей на к-ю материальную точку.

Выражение (15.32) представляет собой математическую запись теоремы об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за время t равно векторной сумме полных импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.

В проекциях на оси координат имеем

=1 k\ k\

Законы сохранения количества движения механической системы

Законы сохранения количества движения следуют из теоремы об изменении количества движения механической системы, как частные случаи описания ее движения. Напомним, что внутренние силы не влияют на изменение количества движения механической системы. Математически законы сохранения определяют первые интегралы системы дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки и механической системы.

Первыми интегралами для дифференциальных уравнений движения механической системы называют соотношения вида

ФД/, x,yt z ,Xf y,z ,Cj):=Q

9/,x,:>;,z,i,j,z) = C.,

которые справедливы при любых начальных условиях. Первые интегралы связывают время, координаты и проекции скоростей точек и произвольные постоянные Су. При решении задач о

движении системы часто требуется определить лишь некоторые 348

характеристики ее движения, поэтому можно найти лишь некоторые первые интегралы.

Возможны следующие частные случаи.

1. Пусть главный вектор всех внешних сил, приложенных к

точкам системы, равен нулю: R =Х урав-

нения (15.29) следует, что

ё = С. (15.33)

Этот результат (закон сохранения Q) формулируется так: если главный вектор внешних сш, пршоженных к точкам механической системы, равен нулю, то вектор количества движения системы постоянен при движении системы,

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем

а=С,; Q,=C,; Q,=C,. (15.34)

В (15.34) входят производные от координат точек не выше первого порядка (проекции скоростей точек), т. е. эти выражения являются первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (15.30).

2. Пусть проекция главного вектора внешних сил на какую-

либо ось координат равна нулю: RJ = Fl =0. Тогда из пер-

вого уравнения (15.30) следует, что

= const.

Формулируется это так: если проекция главного вектора внешних сш, действующих на точки механической системы, на какую-либо ось равна нулю, то проекция вектора количества движенш системы на ту же ось постоянна при движении системы.

Пример 15.3. Плита У имеет массу т, и может перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 15.8). Материальная точка 2, масса которой , начинает движение в гладкой трубке 3 радиусом R из положения согласно закону J = У?ф , где ц> = Ы , Ь = const > О .

Определить закон движения плиты У и ее ускорение, а также силу, с которой она давит на плоскость, если в начальный момент плита покоилась.

i 1

Рис. 15.8

Решение. Согласно теореме об изменении количества движения системы в проекции на ось Ох,

Количество движения системы

где Vi, V2 - абсолютные скорости плиты, совершающей поступательное движение, и материальной точки соответственно.

Точка 2 совершает сложное движение: относительное по окружности радиусом R со скоростью V,. и переносное вместе с плитой со скоростью = vj. Таким образом, V2 = VV + V,. Окончательно имеем

Q = m,Vi + m2(v,. + Vj) = (m, + m2)V + /W2VV .

При этом

Qx = ( 1 + Щ)\х + Щгх = ( 1 + W2)i: -т2/?ф8Шф , где v,jf = i, v, = --/?ф81пф .

Внешние силы системы - силы тяжести = mg, Р2 = /Wjg и реакция плоскости - перпендикулярны оси Ох, поэтому