До раскручивания маховика

после раскручивания

Откуда

Г7 =Л-+Л

О) (г\

Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы для подвижной системы координат

В полученном ранее уравнении (15.59), выражающем теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О, производные взяты относительно инерциальной (неподвижной) системы координат. В подвижной системе координат уравнение (15.59) приобретает вид

+ юх=1>. (15.67)

Здесь ш - мгновенная угловая скорость подвижной системы dKo

координат; - локальная производная по времени от главного

момента количеств движения системы относительно центра О. В проекциях на оси подвижной системы координат получаем

dKy

В подвижной системе координат выражение (15.61) для подвижной точки примет вид

Движение точки под действием центральной силы

Секторная скорость. Рассмотрим положения материальной точки Мъ моменты времени / и / + А/ при ее движении по траектории, которые характеризуются радиус-векторами r{t) и

г, = г (/ + АО .

Площадь Аа части конической поверхности, ометаемая радиус-вектором г за время А/, приближенно равна площади треугольника ОММ (рис. 15.21). Наряду с вектором V , используемым в кинематике точки, введем понятие секторной скорости Уд точки.

Средняя за время А/ секторная скорость

Рис. 15.21

V = А/

(15.68)

а секторная скорость точки Мв момент времени t

,. Аа

v = lim - =-.

Д->о А/ dt

При А/ О вектор Аа приближенно равен по модулю площади треугольника ОММ и направлен перпендикулярно плоскости ОММ в сторону, откуда движение радиус-вектора г представляется происходящим против направления движения часовой стрелки. Для Аа можно записать

Аа ~(г X AF),

тогда

AF

,. Аа 1 v = lim - = - lim г X - Д->о А/ 2 А/

= \{rxv)Mo{v), (15.69)

где M)(v) - момент скорости точки Л/относительно центра О.

Вектор vy приложен в центре О и его направление определяется направлением векторного произведения (15.69). Модуль вектора секторной скорости вычисляют по формуле

=~rvsin(r,v).

Если точка М движется в плоскости и центр О находится в этой плоскости, то вектор перпендикулярен этой плоскости. Из кинематики точки в полярной системе координат

(рис. 15.22) известно, что vsin(r, v) = v , но v = гф, поэтому

/7 9 /7

у,=1г2ф. (15.70)

Рис. 15.22

Формула (15.70) выражает секторную скорость v в полярной системе координат.

Теорема площадей. Запишем выражение для момента количества движения материальной точки (15.36), используя формулу (15.69) для секторной скорости:

=М(д) = гхту =2mv. (15.71)