поскольку сумма статических моментов масс точек относительно

центра масс т,р, =0.

Таким образом,

T = MvlJ:ntMf, (15.79)

где М = /w - масса механической системы.

Формула (15.79) выражает теорему Кенига: кинетическая энергия механической системы в ее абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии двиэюения системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела. При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому

t, 2 t, 2 2t, 2

где М - масса твердого тела.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

где -кратчайшее расстояние отточки до оси вращения. Тогда

I а/ со 1

к=\ к=\

где =fkk - момент инерции тела относительно оси

вращения Oz.

При плоском движении твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси CZ, движущейся поступательно вместе с центром масс, относи-

тельная скорость произвольной точки тела v[ =К следовательно, согласно формуле Кенига,

где - момент инерции тела относительно оси CZ.

При сферическом движении твердого тела скорость произвольной точки определяется формулой Эйлера

=о5хг. (15.80)

Преобразуем формулу (15.78) с учетом выражения (15.80)

л -2 j ;v I n

= Z=Z Л ) = о S ® (i Л)=

*= *= (15.81)

Здесь = кк - главный момент количеств движе-

ния системы относительно неподвижной точки О.

С учетом (15.46) кинетическую энергию твердого тела при сферическом движении (15.81) можно представить в виде

где J, Jy, ...,Jy - осевые и центробежные моменты инерции

твердого тела в системе координат Oxyz (см. гл. 14).

Если оси системы координат Oxyz направить по главным

осям инерции тела для точки О, то, согласно формулам (15.47), выражение (15.82) примет вид

T = (jxl +Л г +z®z). (15.83)

В общем случае движения свободного твердого тела в пространстве, которое можно рассматривать как совокупность поступательного переносного движения вместе с центром масс и сферического движения по отношению к этому центру (рис. 15.28), относительная скорость произвольной

точки тела v=coxp и, следовательно, согласно (15.79) и (15.81), кинетическая энергия тела

(15.84)

2 2

Здесь Л/ - главный момент количеств относительного движения относительно центра масс. Отметим, что для кинетической энергии относительного (сферического вокруг центра масс) движения тела несложно облучить формулы типа (15.82), (15.83).

Рис. 15.28

Таким образом, в данном случае кинетическая энергия твердого тела определяется как сумма кинетической энергии тела в его переносном поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии тела в сферическом движении относительно центра масс.

Работа силы, мощность

Изменение кинетической энергии механической системы связано с работой сил, приложенных к этой системе.

Элементарная работа силы. Пусть точка приложения силы F перемещается по криволинейной траектории из положения