Потенциальная энергия

Для потенциального силового поля наряду с силовой функцией и используют другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля, - потенциальную энергию П в этой точке.

Потенциальной энергией материальной точки в данной точке потенциального силового поля называют работу, производимую силой, действующей на точку в потенциальном силовом поле, при ее перемещении из рассматриваемой точки поля М в начальную Mq, условно принимаемую за нулевую:

П = А= \dUUiM,)-U{M).

Поскольку U(Mq ) = Со , то

Я = Со-и, (15.104)

т. е. потенциальная энергия в какой-либо точке поля с точностью до произвольной постоянной Со равна силовой функции в той же

точке, взятой со знаком минус. На основании формул (15.100), (15,101), (15.104) имеем

Эх дх ду ду dz dz dA = dU = -dn, A = U-uq=nQ-n, где C/q, Яо - произвольные постоянные, равные значениям силовой функции и потенциальной энергии в начальной точке.

Поверхности уровня потенциального силового поля Поверхность

U{x,yz) = C, (15.105)

на которой силовая функция U имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня. Для конкретного поля эти поверхности образуют семейство поверхностей с параметром С; задавая С разные значения, можно получать разные поверхности уровня, которые в случае, когда функция U однозначна, не пересекаются и разделяют потенциальное поле на слои.

Свойства поверхностей уровня

1. Если начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня, то работа силы стационарного потенциального поля по перемещению материальной точки из начального положения в конечное равна нулю. Действительно, из формулы (15.102) и определения поверхности уровня (15.105) следует

A = U{x, у, z)--f/(Xo,:Ho,o) = 0. так как U{х, y,z) = U{xq , >о , ) = Cq (начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня).

2. Сила F потенциального поля направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции U. Этот результат вытекает из соотношения Fdr=dU (см. (15.101)). Рассмотрим элементарное перемещение dr=dx, направленное по касательной х к поверхности уровня в некоторой ее точке М, Так как на поверхности уровня f/(jc, z) = C dU = 0, то

F dr =F dx = dU = 0 . Таким образом, сила F = gradU направлена перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке М к поверхности уровня, т. е. по нормали к. этой поверхности. Если рассмотреть элементарное перемещение dF = dn, направленное в сторону действия силы, то на этом перемещении F dn >0. Следовательно, и dU>О (так как dU = F *dF = = F dn ), т. G, в направлении действия силы F = gradf/ силовая функция и возрастает.

Если построить семейство поверхностей уровня Uj{x,y,z) = 0 (где U{x,y,z) = U(x,y,z)-XN; X = const;N - натуральное число), то при переходе с любой из этих поверхностей на соседнюю поверхность уровня работа силы потенциального поля будет одна и та же и равна X при переходе от поверхности Uj к г7дг+1 или -X при переходе от поверхности С/д, к f/дг. Отсюда следует, что сила будет больше в тех областях поля, где расстояния между соседними поверхностями уровня меньше, т. е. где поверхности уровня расположены гуще.

Силовой линией называют кривую, касательная х к которой в каждой точке параллельна силе F стационарного силового поля в данной точке. Несложно записать дифференциальное уравнение для силовой линии. Действительно,

поэтому

~ ds

(15.106)

F (л:, z) Fy (x,z) F (x,z)

Уравнения (15.106) представляют собой дифференциальные уравнения для силовой линии стационарного силового поля. В случае потенциального поля уравнения (15.106) примут вид dx dy dz

(dU{x,y,zJ,

dU(x,y,z) ду

dU{x,y,z) dz

Отмеченные свойства поверхностей уровня и силовые линии позволяют наглядно представить картину распределения сил в потенциальном силовом поле.

Определение силовой функции, потенциальной энергии, поверхностей уровня и работы сил

Рассмотрим примеры нахождения силовой функции, потенциальной энергии и поверхностей уровня для однородного поля силы тяжести, поля линейной силы упругости и ньютоновского гравитационного поля. Для вычисления работы этих сил вначале покажем, что элементарная работа является полным дифферен-циагюм, т. е. dA = dU ,й затем проинтегрируем dU.

Однородное поле силы тяжести. Рассмотрим материальную точку массой т, находящуюся в однородном поле силы тяжести. Направим ось Oz вертикально вверх, а оси ОхиОу произвольно в горизонтальной плоскости (рис. 15.35).

Проекции силы тяжести Р =mg на оси координат будут равны

=0; Р =0; P,=-mg,