Рис. 15.35

Элементарная работа силы тяжести

dA = Pdx + Pydy + PJz = -mgdz = d{-mgz), (15.107)

Так как элементарная работа силы тяжести является полным дифференциалом и dA = dU = -dn, то, интегрируя (15.107), находим

U = -mgz + C;

n = mgz + C2; (15.108)

А = \{Pdx + Pydy + PJz) = -mg \dz = -mgiz - z,),

где A - работа силы тяжести материальной точки массой т на перемещении ММ2

Уравнение (15.108) можно представить в виде

A = -mgH,

где Н = Z2 - 2, - высота подъема точки.

Если точка М, расположена выше точки М2, т. е. при движении точка опускается, то работа силы тяжести положительная,-в противном случае - отрицательная. Таким образом,

A = ±mgh, (15.109)

где знак + соответствует перемещению точки вниз, а знак - -

перемещению вверх (h= Н

Как следует из формулы (15.109), работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка приложения силы. Работа силы тяжести равна нулю, если точки М, и М2 совпадают (траектория - замкнутый контур) или расположены в одной и той же горизонтальной плоскости.

Поверхностями уровня U(x, у, z) = C однородного поля силы тяжести будут плоскости, перпендикулярные оси Oz, а силовыми линиями - прямые, параллельные оси Oz, так как из

и = -mgz = С

следует z = const.

Поле линейной силы упругости. Линейная сила упругости (рис. 15.36) подчиняется закону Гука: F = -сг , где с - коэффициент упругости; г - радиус-вектор точки М, отсчитываемый от точки равновесия, где сила равна нулю. Элементарная работа этой силы

dA = Fdr=-crdr=d

(15.110)

так как rdr =d - (r) = d - r =rdr. Интегрируя (15.110), нахо-

(15.111)

Т. е.

М, г,

Рис. 15.36

Таким образом, сшовая функцш и потенциальная энергия линейной силы упругости является квадратичной формой координат точки М, отсчитываемых от положения равновесш.

Как следует из формулы (15.111), работа силы упругости не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка. При перемещении же точки из положения равновесия работа силы упругости будет отрицательной:

А = --г\ 2

Поверхностями уровня U{x,y,z) = C линейной силы упругости будут концентрические сферы с центром в начале координат, а силовыми линиями - прямые, проходящие через начало координат, так как из

следует

и = --{х- +у z) = C 2

х~ + у + z = const.

Ньютоновское гравитационное поле. На материальную точку М массой т действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равная F = к/г , где г = ОМ (рис. 15.37). Для Земли