к - mgrl, где г3 - радиус Земли, g - ускорение силы тяготения на ее поверхности, поэтому сила гравитационного поля Земли, действующая на точку М, обратно пропорциональна квадрату расстояния от материальной точки до центра Земли (для случая г > Гз, а также в предположении, что Земля - однородный шар либо шар с концентрическим распределением масс), т. е. Fmgrllr

Рис. 15.37

Введем единичный вектор г. Тогда F = -r-rQ и так как

r=rFQ, то F =-кг/г . Элементарная работа силы тяготения

-к к (к

dA = Fdr=-7dr=-Ardr = d г г

Отсюда силовая функция

а потенциальная энергия

п = - + с,.

Поверхностями уровня U(x,y,z) = C ньютоновского гравитационного поля будут концентрические сферы с центром в на-

чале координат, а силовыми линиями - прямые, проходящие через начало координат, так как из

U = klr = C

следует г = Jx + -\-z = const, или jc + j; + = const.

Отметим, что изложенное в § 15.7 применимо как для одной материальной точки, так и для механической системы, так как выполняется закон суперпозиции силовых полей.

Закон сохранения механической энергии

Пусть все силы (как внешние, так и внутренние), действующие на механическую систему, потенциальны, т. е. существует функция U(x,y, zi,л:, j;, z), такая, что

г, dU dU dU

кх -т-. ку -Т- kz (15.112)

dXk ду dz

где ffi + ffj + fjk = fj - равнодействующая всех сил, приложенных к Л-й точке.

Теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме представим в виде

dt = Yfkdrk. (15.113)

TjxGFj,dr,={fjfufj)dr,

Так как, согласно (15.112),

ILh drk=(ffdXk +fkydyk +fjdzk) =

dV dU dU

= dU,

k=\\k k 4

TO уравнение (15.113) примет вид

dT = dU,

dT + dn = 0,

где П = -U(xi,y,2i,...,Xf уi,Zfj) +const - потенциальная

энергия системы.

Следовательно,

26 зак. ,6

(Г + Я) = 0,

отсюда получаем

Г + Я = с0п81

Е = Т + П = Т+П =const. (15.114)

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией Е механической системы. Системы, для которых выполняется закон, сохранения механической энергии, называются консервативными.

Формула (15.114) выражает закон сохранения механической энергии для механической системы: если все сшы, действующие на систему, потенциальны, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна.

Следует отметить, что закон сохранения механической энергии справедлив и в том случае, когда кроме потенциальных имеются и непотенциальные силы, но которые при движении системы не совершают работы.

Пример 15.8. Груз 1 массой с помощью нерастяжимой нити, переброшенной через блок 2 массой приводит в движение ступенчатый каток 3 массой (рис. 15.38). Нить намотана на меньшую ступень катка, радиус которой г, и по блоку 2 не скользит. Каток, большая ступень которого имеет радиус R, катится без скольжения по горизонтальной плоскости; его радиус инерции относительно центра масс р, а коэффициент трения качения 5.

Определить скорость груза в зависимости от высоты его опускания И, если в начальный момент система покоилась. Трением в оси блока, а также массой нити пренебречь. Принять, что масса блока равномерно распределена по ободу.

Решение. К движению механической системы, состоящей из груза, нити, блока и катка, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (15.97):

T = t4t4> (15.115)

в которой Tq=0, так как в начальный момент времени система покоилась. Обозначим через Г Гз и кинетическую энергию соответственно груза, блока и катка после опускания груза на высоту h. Тогда

где J = т2Г2 ; Гз - радиус блока 2; Jcz=

Так как нить нерастяжима и относительно блока и катка не скользит, то