При качении катка без проскальзывания его МЦС находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскостью, тогда (см. рис. 15.38)

=С0з(/? + г); Ус=С0з/?.

Таким образом,

0)2= - ; СОз =

Vr =--v.

+ г R

и, следовательно, кинетическая энергия системы

Г = Г,+Г2+Гз =т,у>т2Г2+тз

(/? + г)

2 1

(/? + г)

2 -А

Ш + 2 + W3

Работа внутренних сил каждого из твердых тел, а также работа сил натяжения нити равны нулю, тогда для всей рассматриваемой системы

£а< =о.

Работа силы тяжести блока и работа реакции Rg его оси равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке В. Сила тяжести катка 3 Щ8 перпендикулярна перемещению, а силы реакции поверхности N и

F (см. рис. 15.38) приложены к МЦС, поэтому их работа также равна нулю. Таким образом, из внешних сил, действующих на систему, работу совершают сила тяжести груза = mg и момент трения качения , препятствующий качению катка по плоскости, т. е.

где ф - угол поворота катка при опускании груза 1 на высоту h.

Поскольку = бРз = bmg, а ф = -, то

S4 -mgh-bmg--. Подставив найденные соотношения в уравнение (15.115), получим

где winp, /И2пр - приведенные массы системы,

Л4р2 5

Отсюда скорость груза

15.8. Примеры использования общих теорем динамики

Общие теоремы динамики применяют для составления динамических диффереьщиальньпс уравнений движения механической системы при заданных внешних силах для выбранных обобщенных координат. Решение получают интегрированием уравнений движения в виде зависимостей этих координат от времени, определив произвольные постоянные из начальных условий задачи. После этого находят скорости и ускорения тел, а следовательно, и силы, действующие в системе.

В ряде практических задач движение по одной или нескольким обобщенным координатам бывает задано кинематиче-

ски. в этом случае определяют движение по остальным координатам, а также силы, вызвавшие движение, заданное кинематическим уравнением. Как и выше, находят все кинематические параметры системы и внутренние силы. В этих задачах некоторые начальные условия определены заданными кинематическими уравнениями.

В ряде случаев из дифференциальных уравнений движения механической системы получают первые интегралы, т. е. решения в виде функций (равных произвольным постоянным), в которые не входят ускорения.

Анализ сил, действующих на механическую систему, дает ответ, какую теорему динамики лучше использовать при решении задачи. Так, если равен нулю главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, то по теореме об изменении количества движения системы устанавливают закон сохранения вектора количества движения системы, из которого получают три первых интеграла. Произвольные постоянные определяют из начальных условий движения механической системы - ее начального положения и начальных скоростей точек системы. Проекции количества движения системы содержат координаты и проекции скоростей точек, т. е. первые производные от координат, и не содержат проекций ускорений, т. е. вторых производных от координат.

Если проекции действующих на систему внешних сил на одну или две оси координат равны нулю, то получают один или два первых интеграла, описывающих движение системы. Если в механической системе есть тела, движение которых содержит вращательное или сферическое движение, то необходимо применять теорему об изменении главного момента количеств движения системы. Если главный момент внешних сил относительно какого-либо центра равен нулю во все время движения системы, то по теореме об изменении главного момента количеств движения системы относительно этого центра устанавливают закон сохранения вектора главного момента количеств движения системы относительно этого центра, из которого получают три первых интеграла системы (равенства произвольным постоянным трех главных моментов количеств движения системы относительно осей координат). При этом, если один или два главны} момента