внешних сил относительно соответствующих осей координат равны нулю, может быть один или два первых интеграла.

Теорема об изменении кинетической энергии является более универсальной, так как в ней учитываются все движения тел в системе, а кроме того, рассматривается работа как внешних, так и внутренних сил.

Использование закона сохранения механической энергии также позволяет получить первый интеграл уравнений движения. Его называют интегралом энергии, или интегралом живых сил. Закон сохранения механической энергии выполняется при действии на систему потенциальных сил (внешних и внутренних), поэтому работа этих сил может быть вычислена до исследования движения системы.

Пример 15.9, Механизм состоит из зубчатой рейки / массой т, к которой приложена сила F , и шестерен 2 и J, находящихся в зацеплении (рис. 15.39, а). Моменты инерции шестерен относительно осей и Oz равны соответственно 2 и 3. К рейке прикреплена пружина, имеющая коэффициент жесткости с. В начальный момент пружина не напряжена. К шестерне 2 приложен момент сил сопротивления М=-а2(о, к шестерне 3 - момент сил

сопротивления М, =-а(о, а2,аз =const>0 . Механизм расположен в горизонтальной плоскости и в начальный момент находится в покое.

Определить уравнение движения рейки и реакцию оси шестерни 3 в начальный момент (при / = О ).

Решение. По теореме об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Кинетическую энергию системы определим как сумму кинетических энергий отдельных ее тел :

2 2 2

где V - скорость рейки; а), со - проекции угловых скоростей шестерен 2 и 3 на оси Ojz , o3z соответственно.

Запишем уравнения, связывающие кинематические параметры: у,=Г2а),, а),/?2=-а),/з

откуда

2 . 2

3 ih

где - проекция скорости рейки на ось Ox{v = к, = ); х - координата, фиксирующая положение рейки.

Подставив эти выражения в формулу для кинетической энергии, получим

где 5 = w + -f +

2 . 32

1 ->

Дифференциал кинетической энергии

Определим сумму элементарных работ сил, если рейке сообщено элементарное перемещение dx . Так как dx = г,б/ф2, а /Фг = зФз -

б/фз = -с/ф, = -cix . з з

Сумма элементарных работ внутренних сил равна

Внешними для рассматриваемой механической системы являются: сила F , сила упругости пружины, силы тяжести и реакции опор а, 5, О2, О3, а также

пары сил сопротивления с моментами А/, , М. Сумма элементарных работ

сил тяжести и реакций опор равна нулю, так как они либо перпендикулярны dx . либо приложены в неподвижных точках:

c J(f/)= Fdx-cxdx-а(л,d(p2 - 3(0 d =

32 л ..2 2

Подставим полученные выражения в формулу для теоремы об изменении кинетической энергии:

Bxdx = {F-cx-Dx)dx,

2 О 2

Преобразовав это уравнение с учетом, что xdx/dx = х , получим Вх + Dx + cx = F или X + 2дх + Кх = а, где 2n = D/B,K =c/B.A = F/B.

Решение линейного дифференциального неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами представим в виде суммы х = Х]+Х2. Пусть К>п,

тогда х, = ае~ sin(A:,r +у), лг2 = а/к= F/c и

;c = ,e- sin(/:,r + Y)+ -, с