Решение. 1. В рассматриваемом механизме маховик 2 совершает вращательное движение вокруг оси 0,z , а рычаг / - плоское. В расчетной схеме, приведенной на рис. 16.4, б, выбрана полярная система координат с центром в точке О и горизонтальной полярной осью, а в системе сил, приложенных к телу У, показаны лишь силы, лежащие в плоскости движения рычага. При этом реакция цилиндрического шарнира А представлена в виде двух составляющих и Rp, направленных по соответствующим осям полярной системы координат, а

реакция муфты 3 - трансверсальной составляющей Л,. Дифференциальные уравнения плоского движения рычага 7 (16.5) и (16.7), так как здесь полярный угол 0 является и углом поворота тела 7, запишутся так:

m{rcQ + 2rcd) = Rp + N; Jrzd = -RpL-Nrc,

где - момент инерции рычага 7 относительно оси CZ.

На рисунке видно, что полярная координата центра масс С рычага 7 = ОС = 2Lcos9 + L, а полярный угол 0 = ф/2. По условию задачи 0 = со = = const и, следовательно, 0 = 0, а в = ш. При этом можно записать = -2La)sin0 , = -2L(o cos0 .

С учетом полученных соотношений из системы уравнений найдем зависимости для проекций реакций шарнира А и муфты 3 на оси полярной системы координат:

7?, =m(rc-r(.Q) = -mL(o{4cosQ + \); = ТТГ- = -2mL(o\2cosQ + l)tg0 ;

N,=-R - = 2mL(ohgQ.

2. В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рис. 16.4, в, дифференциальное уравнение (16.3) вращательного движения маховика 2 вокруг оси 0,z имеет вид

где J()2 - момент инерции маховика 2 относительно оси его вращения 6),z ; Ф = 20 = 2а)Г, ф = О . Отсюда

Лгпр =-rsin0 + 7?Icos0 .

Полученные выражения для проекций реакций шарнира А, муфты 3 и момента сил от привода зависят от угловой скорости о) и угла 0 поворота рычага У и являются неявными функциями времени. Несложно получить те же зависимости как функции угла ф поворота маховика 2. В явной форме зависимости этих параметров от времени слишком громоздки и здесь не приводятся (читатель может вывести их самостоятельно).

16.2. Сферическое движение твердого тела

Задачи динамики сферического движения твердого тела имеют более высокий уровень сложности в сравнении с рассмотренными выше. Дифференциальные уравнения динамики сферического движения твердого тела являются нелинейными, и для них, как правило, не удается найти общего аналитического решения в элементарных функциях. Поэтому теперь такие задачи решают в основном численными методами, а известные аналитические решения используют для выработки качественных представлений о возможном характере движения твердого тела в близких физических условиях.

Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела

Влияние внешних сил на кинематические характеристики сферического движения твердого тела вокруг точки О, неподвижной в инерциальной системе отсчета, изучим с помощью теорем об изменении главного момента количеств движения и кинетической энергии для системы материальных точек (см, § 15.5, 15.6):

поскольку они позволяют исключить из уравнений динамики силы, сходящиеся в точке О.

Помимо инерциальной системы отсчета Sq с осями Ох, Оу,

Oz и ортами /, j, к введем жестко связанную с твердым телом вспомогательную систему координат S с началом в точке О, осями ОХ, OY, OZ и ортами I ,J ,К , Угловая скорость системы S относительно системы тождественно равна угловой скорости самого тела ю . Система S удобна тем, что в ней постоянны три

осевых J,Jy,Jz и три центробежных Jxy xz> yz момента инерции тела.

Направим оси системы s не произвольно, а так, чтобы они совпадали с главными осями инерции твердого тела в точке О, В таких осях для твердого тела упрощается расчет проекций его главного момента количеств движения относительно точки О и его кинетической энергии:

Ку =сОд.; Ку =В(Оу; = С(Оу, (16.9)

Г = 0,5А:;СОсо8а = 0,5(сОд А:; +(ОуКу +(OzKy), (16.10)

Здесь и далее буквами А, Д С обозначены соответствующие осевые моменты инерции тела относительно трех ортогональных главных осей инерции. При А = В эллипсоид инерции тела в точке О имеет форму поверхности вращения вокруг оси OZ, которую в этом случае называют осью динамической симметрии твердого тела, а само тело - динамически симметричным. На практике для выполнения равенства А = В телу из однородного материала придают форму тела вращения.

Согласно (16.9), (16.10), вектор образует острый угол а с вектором ш . При этом параллелен главной оси инерции тела, если ш направлен по этой оси инерции тела, и перпендикулярен главной оси инерции тела, если ей перпендикулярен ю .

В соответствии с формулой Бура, запись вектора Kq твердого тела в проекциях на оси системы s (см. (16.9)) влечет за собой необходимость применения теоремы о его изменении в специальном виде

-j + ToxKo =Lo, at

предполагающем последующее проецирование именно на оси системы s.

Adx +(С-5)cOj,co =Lx\

ВЩ +(-С)С02С0; =1у\ (16.11)

Cdy +{В- A)(ixy =Ly,

Систему уравнений (16.11) называют динамическими уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь между моментами