Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

а во втором уравнении применим формулу (16.10):

2Г = A:;COcosa = coA:. +(ОуКу +(ОуКу = const. (16.15) Для главных осей инерции тела эти интегралы имеют вид

Kf) ={А(ОхУ +(В(ОуУ +{C(i)zf const; (16.16) 2T = A(ol +B(ol +Cco = const (16.17)

и представляют собой ограничения для проекций угловой скорости тела на оси системы S, закон движения которых пока неизвестен.

Соотношения (16.16), (16.17) можно вывести непосредственно из (16.12). Например, умножив каждое уравнение (16.12) на соответствующую проекцию угловой скорости сО;,сОу со, а затем, сложив все три полученные уравнения и проинтегрировав, находим (16.17). Если же каждое уравнение системы (16.12) умножить соответственно на cOj,5сОу,Ссо, а затем сложить и проинтегрировать, то получим (16.16).

Регулярная прецессия и стационарное вращение при А = В. Покажем, что в случае Эйлера для динамически симметричного тела система дифференциальных уравнений сферического движения имеет общее решение в элементарных функциях, справедливое при произвольных начальных условиях.

При А = В тип формы эллипсоида вращения может быть задан параметром е = (С - А)/А ,-\<е<1. Значение е = 0 соответствует шаровому эллипсоиду инерции, -\<е<0 - эллипсоиду,

* К настоящему времени большая часть известных решений задач динамики сферического движения получена лишь для динамически симметричного тела. Анализу движения тела при условии А = В посвящена теория гироскопа. Впервые термин гироскоп применил французский физик Ж. Фуко в 1852 г., назвав им сферический маятник, регистрирующий в закрытом помещении вращение Земли относительно инерциального пространства. В переводе с греческого гироскоп означает указатель вращения (гирос - вращение, скопео - вижу).

Теперь гироскопом традиционно называют динамически симметричное твердое тело, совершающее сферическое движение вокруг неподвижной точки, расположенной на оси динамической симметрии. Теорию гироскопа используют для анализа динамики тяжелого волчка, летящего снаряда, планет Солнечной системы, ротора в упругих опорах, гироскопических приборов и др. Гироскопические приборы позволяют регистрировать движение корпуса прибора относительно инерциального пространства.



вытянутому вдоль оси OZ, а О < < 1 - эллипсоиду, сплюснутому вдоль оси OZ. Значения е = -1 и е = 1 соответствуют центральным эллипсоидам инерции тонкого прямого стержня и тонкой однородной пластины с двумя осями симметрии в ее плоскости (например, круглый диск, кольцо, квадрат и т. п.).

Свойство динамической симметрии тела позволяет проанализировать динамику его сферического движения в случае Эйлера и в случае Лагранжа с применением геометрического образа подвижной координатной плоскости OY2Z2 (плоскости П) системы координат S2 (OX2Y2Z2), используемой в системе углов Эйлера для отсчета угла ф (рис. 16.5):


Рис. 16.5

Плоскость П проходит через неподвижную ось Oz и перпендикулярна линии узлов - оси 0X2, единичный орт которой



обозначают символом п. Система .S2 вращается относительно системы Sq с угловой скоростью Q = vj/A + 0w , а твердое тело и система S вращаются относительно системы S2 с угловой скоростью фАГ. Для динамически симметричного тела оси системы S2 также являются его главными осями инерции.

Ниже в случае Эйлера доказывается, а в случае Лагранжа предполагается, что при движении тела угол нутации не изменяется:

0 = const = eo; 6 = 0. (16.18)

При постоянном 6

Q = v(/; са = 1(/ + ф; (16.19)

С0;2 -0; Y2 =4/sineo; со2 =Ф + Ч/С08бо. (16.20)

Поэтому оба вектора и Kq расположены в плоскости П, движение которой относительно системы Sq есть вращение вокруг

неподвижной оси Oz с угловой скоростью прецессии Q. Ниже будет доказано, что в рассматриваемых физических условиях векторы со и АГ не только расположены в плоскости П, но и неподвижны в ней. Поэтому скорости изменения удовлетворяют формуле Эйлера для расчета производной вектора постоянного модуля:

ю = Охсо; (16.21)

Ко =QxZ =Lo. (16.22)

В (16.22) вектор Lq включен на основании теоремы об изменении главного момента количеств движений системы материальных точек. Формула (16.22) отражает влияние внешних сил на угловую скорость движения оси динамической симметрии твердого тела, когда вектор Kq неподвижен в плоскости П .

Для динамически симметричного тела в случае Эйлера дифференциальные уравнения сферического движения и их первые интегралы примут вид

=-cOj.co; соу =000).; сЬ =0; (16.23)

со + со + со {CjAf = const; (16.24)

со + соу + (о1 С/А = const. (16.25)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка