Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [ 164 ] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Решение. Уравнения связей имеют вид

Ус = г- const; Хс = гф,

где ф - угол поворота диска (ф = О при = О). Из первого уравнения связи следует, что

vr> = Ус = О-

Интегрируя второе уравнение, находим связь между координатой х и углом поворота диска

Хс =гф + С,.

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида

/Дд:,>;,2,д:,>;,г,0 = 0, * = Л. (18.2)

Уравнения (18.2), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения (18.2) на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Пример 18.2. Получить уравнения связей для шара радиусом г, который катится без скольжения по плоскости (рис. 18.2).


Рис. 18.2

Решение: Положение шара определяется координатами Xc,yc,zc центра масс и тремя углами его поворота вокруг центра масс. Этими углами могут быть



\ глы Эйлера. При любом положении шара расстояние от точки С до плоскости Оху равно его рали\с\. Поэтому одно из уравнений связи имеет вид =/ . Др\ гие > равнения связи определим из условия качения без скольжения: V/, = + ш X F = 0: Г = СР.

где Р - точка соприкосновения шара с плоскостью.

Проецируя это векторное уравнение на оси неподвижной системы координат. пол\чаем

.х - ГО) = 0: у\+г(о=0: г = О.

Интегрирование последнего >равнения дает полученное выше геометрическое \ словие Г(. = г .

Кинематические уравнения в проекциях на оси неподвижной системы координат имеют вид

0) =9sin0sinv; + 0cosv;: =-9sin0cosv; + 0sinv;. Таким образом, уравнениями связей для шара являются +г(ф8т0со81;-051п1;)= О: У( +г (ф sin 0 sin v; + 0 cos v;) = О: г

Первые два из них не интегрируются, т. е. являются уравнениями неголо-номных связей.

Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид (кУкк) = является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: /,(ХкУккО = 0.

Например, жесткий стержень длиной /, прикрепленный к неподвижной опоре, является стационарной связью для материальной точки, находящейся на его свободном конце. Уравнение связи в декартовой системе координат, начало которой совпадает с

точкой закрепления стержня, имеет вид + + -1 =0. (При вращении стержня вокруг опоры точка находится на сфере радиусом /.) Если длина стержня изменяется по заданному закону, то связь является нестационарной и ее уравнение

+у- +Z--l\t) = 0.



Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством). Голономную стационарную удерживающую связь, наложенную на материальную точку, можно представить в виде двух бесконечно близких одинаковых поверхностей, между которыми только и может находиться точка. Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной /, вращающийся вокруг неподвижной оси и к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающая. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нити длиной /, то связь будет неудерживающая, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом /, так и внутри нее.

Обобщенные координаты

Пусть механическая система состоит из материальных точек. Положение такой системы в пространстве определяется ЪК декартовыми координатами. Если на систему наложено т голономных удерживающих связей, то независимыми между собой будут не ЗЛ ,ап = 3N - т координат. Выбрав п декартовых координат системы в качестве независимых, остальные т координат можно найти при помощи уравнений связи. Выбор декартовых координат в качестве независимых для ряда задач механики оказывается нерациональным, так как приводит к громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно использовать и другие независимые координаты. Независимые между собой координаты, которые однозначно определяют положение механической системы в пространстве, в любой момент времени называются обобщенными координатами. Их обозначают qi{t), где / = 1, 2,п. В качестве обобщенных координат можно использовать отрезки прямых, дуги, углы, а также любые другие параметры, удовлетворяющие определению обобщенных координат. Отметим, что для одной и той же механической системы может быть несколько вариантов выбора обобщенных координат. Так, для системы, показанной на рис. 18.3, в качестве обобщенных координат могут



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [ 164 ] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка