Выражение (18.5) представляет собой условие, которому должны удовлетворять проекции вектора dr элементарного действительного перемещения точки.

Представим теперь, что перемещение точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, допускаемое связями, происходит в результате изменения координат точки при фиксированном времени. Координаты точки с учетом их вариации должны удовлетворять уравнению связи

f{x + 5x,y + 5у, Z + 5z, /) = о.

Раскладывая эту функцию в ряд Тейлора с точностью до слагаемых выше первого порядка малости и учитывая, что связь имеет вид (18.3), получаем

5xby8z = 0. (18.6)

дх ду dz

Таким образом, при наличии связи вида (18.3) вариации координат точки должны удовлетворять условию (18.6). При выводе условия (18.6) время полагалось фиксированным, поэтому данное условие должно выполняться как при стационарных, так и при нестационарных связях, наложенных на точку.

Используя понятие вектор-градиент выражение (18.6) можно рассматривать как скалярное произведение векторов:

- dfr а/, dfj-

grad/ = /+7 + * дх ду dz

5г =5x1 +5у j + dzk .

Вектор-градиент расположен вдоль главной нормали к поверхности /(л:, y,z,t) = 0. Поэтому условие (18.6) означает, что вектор 5F ортогонален главной нормали и, следовательно, расположен вдоль касательной. Таким образом, если на точку наложена голономная удерживающая связь, то возможными перемещениями точки из положения, занимаемого ею в какой-либо момент времени, являются бесконечно малые векторы 5г, расположенные в касательной плоскости к поверхности /(х, y,z,t)-0, зафиксированной в этот момент времени.

Установим связь между элементарными действительными и возможными перемещениями точки. Если наложенная на точку

связь стационарная, то - = 0 и условие (18.5) аналогично усло-

вию (18.6). Следовательно, если связь стационарная, то элементарное действительное перемещение точки совпадает с одним из возможных. При нестационарной связи проекции вектора dr удовлетворяют условию; не совпадающему с условием для проекций вектора Ъг . В этом случае элементарное действительное перемещение точки не принадлежит к числу возможных.

Этим выводам можно дать геометрическую интерпретацию. Если связь голономная и стационарная, то ее можно рассматривать как поверхность, на которой должна находиться материальная точка. Условие (18.6) означает, что векторы Ъг возможных перемещений точки располагаются в касательной плоскости, проведенной в той точке поверхности, в которой в данный момент времени находится материальная точка. В той же плоскости, согласно условию (18.5), должен расположиться и вектор dr элементарного действительного перемещения точки. Если же связь голономная, но не стационарная, то действительное перемещение точки можно рассматривать как результат двух движений: переносного - вместе с изменяющейся поверхностью (связью) - и относительного - движения точки относительно фиксированной ( замороженной ) в данный момент времени поверхности. Возможное перемещение, согласно его определению, соответствует только относительному движению точки. Поэтому в случае нестационарной связи действительное перемещение точки не совпадает ни с одним из возможных ее перемещений.

Возможным перемещением системы называется любая совокупность возможных перемещений всех ее точек. Для системы, состоящей из N точек, возможны ЪН вариаций декартовых координат. Если на систему наложено т голономных удерживающих связей, то вариации координат точек системы должны удовлетворять следующим условиям:

А:=1

df, df, df, дх, ЧУл к

= 0, 7 = l,2,...,/w.

Для системы с голоиомными связями число степеней свободы равно числу независимых обобщенных координат, В каждый момент времени положение системы может быть определено как в декартовых, так и в обобщенных координатах. Поэтому действительное и возможные перемещения любой точки системы выражаются через ее обобщенные координаты. Для системы с п степенями свободы радиус-вектор каждой точки является функцией обобщенных координат и времени = ГкЧ\Ч2- Чп) * Следовательно, возможное перемещение можно вычислить как полный дифференциал функции {q, t) при фиксированном времени:

дд, дд дд

Таким образом.

дд дд, дд, дд,

Элементарное действительное перемещение точки определяется как полный дифференциал функции (9 /), но время при этом не фиксируется:

г- дг. дги ,

Пример 18.3, Выразить возможные перемещения точек А и В стержня (рис. 18.5) через его обобщенную координату.

Решение. Положение стержня в плоскости Оху определяется четырьмя декартовыми координатами точек А и В . Уравнения голономных стационарных связей, наложенных на стержень, имеют вид

/=0; Уа=0; х1+у1-1=0,

где / = АВ.

Число степеней свободы л = 1, и в качестве обобщенной координаты можно выбрать угол ф , который стержень образует с осью Ох.

Радиус-вектор точки А равен = xj . Гак как х =/со8ф, то

8Г4 = 8ф7 = -/ sin ф 8ф/. Эф