Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика в этом случае условия равновесия имеют вид - = 0 или - = 0, / = 1,2,..., . (18.11) dq, dq, Выражения (18.11) являются необходимыми условиями существования экстремумов функций U и П, Таким образом, при равновесии системы, находящейся под действием потенциальных сил, все частные производные от силовой функции и потенциальной энергии по обобщенным координатам равны нулю. Принцип Даламбера-Лагранжа. Общее уравнение динамики Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. В соответствии с принципом Даламбера, приложенные к каждой точке активные силы, реакции связей и силы инерции в любой момент времени образуют уравновешенную систему сходящихся сил. Эта система сил удовлетворяет условию равновесия +\ =0, (18.12) где Ff и Rf - равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к к-й точке; = -wa. Умножим обе части уравнения (18.12) скалярно на возможное перемещение к-й точки и просуммируем полученные для всех точек системы произведения. В результате имеем ;(,+Л,+Ф,)-8г,=0. (18.13) Это уравнение называется общим уравнением динамики. Выражение (18.13) является условием, которое должно выполняться для любого совместного со связями движения системы под действием заданных активных сил. Общему уравнению динамики соответствует принцип Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы в любой момент времени сумма работ активных сш, сил реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении из занимаемого положения равна нулю. Принцип Даламбера-Лагранжа является вариационным и дифференциальным, потому что в нем рассматривается возможная работа активных сил, сил реакции и сил инерции в произвольный, но фиксированный момент времени. Отметим, что усло- вие (18.13) выполняется только для истинного движения системы. Общее уравнение динамики можно записать и в других формах. Раскрывая скалярные произведения, получаем -b(F-bi? -bO)5zJ = 0. Так как Ф = -wi; Фу = -ЩУку kz = ~Щк ? T.[(Fk,+Rkx-Щк)к +{Рку+ку-ЩУк)Ук + ... к=\ (15.14; + (F+i?-m,z,)5z,] = 0. Выражение (18.14) определяет аналитическую форму записи общего уравнения динамики. Если связи, наложенные на систему, идеальные, то N £Rbr, =0 и общее уравнение динамики принимает вид А:=1 ;(,+Ф,)8г,=0. (18.15) Таким образом, при движении системы с идеальными связями в любой момент времени должна быть равна нулю сумма возможных работ активных сил и сил инерции. Если для изучения движения системы применяют обобщен- ные координаты, то г, =Гк(Я\Я2-Яп0 и Ьг, =Y,T9i Ы1 од. Подставив выражение для возможного перемещения в (18.13) и изменив порядок суммирования, получим Ъд, =0. (18.16) - - дг Так как У\{р1 - = 6/ - обобщенная сила, соответст-П? дд, N Оу вующая /-Й обобщенной координате, то УФ- = 6Г - *=1 дд, обобщенная сила инерции, соответствующая той же координате. Если вариации обобщенных координат независимы между собой, условие (18.16) принимает вид й-ьеГ=0, / = 1,2,..., . (18.17) Выражение (18.17) называется общим уравнением динамики в обобщенных силах. При изучении движения твердого тела с помощью принципа Даламбера-Лагранжа силы инерции точек тела нужно привести к какому-либо центру, например центру масс тела. Тогда сумму возможных работ сил инерции можно вычислить следующим образом: где /г главный вектор и главный момент сил инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; 8. - возможное перемещение центра масс; 8ф - возможный угол поворота тела вокруг мгновенной оси вращения. Пример 18.9. Определить ускорение центра масс диска радиусом г, который без скольжения скатывается по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом (рис. 18.14). Коэффициент трения качения равен Д .
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |