Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

в этом случае условия равновесия имеют вид

- = 0 или - = 0, / = 1,2,..., . (18.11)

dq, dq,

Выражения (18.11) являются необходимыми условиями существования экстремумов функций U и П, Таким образом, при равновесии системы, находящейся под действием потенциальных сил, все частные производные от силовой функции и потенциальной энергии по обобщенным координатам равны нулю.

Принцип Даламбера-Лагранжа. Общее уравнение динамики

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. В соответствии с принципом Даламбера, приложенные к каждой точке активные силы, реакции связей и силы инерции в любой момент времени образуют уравновешенную систему сходящихся сил. Эта система сил удовлетворяет условию равновесия

+\ =0, (18.12)

где Ff и Rf - равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к к-й точке; = -wa.

Умножим обе части уравнения (18.12) скалярно на возможное перемещение к-й точки и просуммируем полученные для всех точек системы произведения. В результате имеем

;(,+Л,+Ф,)-8г,=0. (18.13)

Это уравнение называется общим уравнением динамики. Выражение (18.13) является условием, которое должно выполняться для любого совместного со связями движения системы под действием заданных активных сил. Общему уравнению динамики соответствует принцип Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы в любой момент времени сумма работ активных сш, сил реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении из занимаемого положения равна нулю. Принцип Даламбера-Лагранжа является вариационным и дифференциальным, потому что в нем рассматривается возможная работа активных сил, сил реакции и сил инерции в произвольный, но фиксированный момент времени. Отметим, что усло-



вие (18.13) выполняется только для истинного движения системы. Общее уравнение динамики можно записать и в других формах. Раскрывая скалярные произведения, получаем

-b(F-bi? -bO)5zJ = 0. Так как Ф = -wi; Фу = -ЩУку kz = ~Щк ?

T.[(Fk,+Rkx-Щк)к +{Рку+ку-ЩУк)Ук + ... к=\ (15.14;

+ (F+i?-m,z,)5z,] = 0.

Выражение (18.14) определяет аналитическую форму записи общего уравнения динамики.

Если связи, наложенные на систему, идеальные, то

N

£Rbr, =0 и общее уравнение динамики принимает вид

А:=1

;(,+Ф,)8г,=0. (18.15)

Таким образом, при движении системы с идеальными связями в любой момент времени должна быть равна нулю сумма возможных работ активных сил и сил инерции.

Если для изучения движения системы применяют обобщен-

ные координаты, то г, =Гк(Я\Я2-Яп0 и Ьг, =Y,T9i

Ы1 од.

Подставив выражение для возможного перемещения в (18.13) и изменив порядок суммирования, получим

Ъд, =0. (18.16)

- - дг

Так как У\{р1 - = 6/ - обобщенная сила, соответст-П? дд,

N Оу

вующая /-Й обобщенной координате, то УФ- = 6Г -

*=1 дд,

обобщенная сила инерции, соответствующая той же координате.



Если вариации обобщенных координат независимы между собой, условие (18.16) принимает вид

й-ьеГ=0, / = 1,2,..., . (18.17)

Выражение (18.17) называется общим уравнением динамики в обобщенных силах.

При изучении движения твердого тела с помощью принципа Даламбера-Лагранжа силы инерции точек тела нужно привести к какому-либо центру, например центру масс тела. Тогда сумму возможных работ сил инерции можно вычислить следующим образом:

где /г

главный вектор и главный момент сил инерции

относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; 8. - возможное перемещение центра масс; 8ф - возможный угол поворота тела вокруг мгновенной оси вращения.

Пример 18.9. Определить ускорение центра масс диска радиусом г, который без скольжения скатывается по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом (рис. 18.14). Коэффициент трения качения равен Д .




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка