Разделы сайта
Читаемое
Обновления Apr-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика координаты точек которой удовлетворяют голономным связям, наложенным на систему. В момент времени / положение точки определяется радиус-вектором F/(/), а в момент времени t + dt - радиус- вектором +dt)=F;(t)+v;{t)dt + -a;{t)dt +(I8.21) где vCOj k(0 - кинематически возможные скорость и ускорение кй точки системы в момент времени t. Положим, что r(0 = V*(0- Тогда, вычитая (18.20) из (18.21), получим следующее выражение для возможного перемещения точки: 5F, = F; (t + dt) -r,it + dt) = [v; (0 - V, (0] dt + + [a:it)-a,{t)]dt+.... (18.22) Если (t) = (t), to, пренебрегая в правой части (18.22) слагаемыми, содержащими dt в третьей и более высоких степенях, находим: Подставив (18.23) в общее уравнение динамики (18.15) и разделив обе части выражения на , получаем br,=bd,dt\ (18.23) (18.24) Массы точек и приложенные к системе активные силы заданы и не изменяются, поэтому 5а, =-6 Подставляя вариацию ускорения Ъа в (18.24), находим - - (р Л к=\ \Щ л=1 = 0. Выражение л=1 2 к - = Z введено Гауссом и назы- вается принуждением. Принуждение является мерой отклонения действительного движения от того движения, которое совершала бы данная система, если начиная с некоторого момента времени она двигалась под действием только активных сил, а связи были бы отброшены. Условие (18.24) можно записать так: 5Z = 0. Принцип Гаусса формулируется так: при действительном движении механической системы с идеальными связями принуждение Z принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместимых с наложенными связями. Принцип Гаусса можно рассматривать как модификацию принципа Даламбера-Лагранжа, в которой используется понятие экстремальности некоторого выражения, называемого принуждением. Пример 18.11. Определить ускорение материальной точки, которая движется под действием силы тяжести по гладкой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 18.16). Начальная скорость точки равна нулю. Производная если Решение. Возможные траектории точки располагаются в наклонной плоскости, и возможные перемещения /1С/=-а,5г. При свободном движении под действием силы тяжести перемещение точки за такой же промежуток времени равно AB=g8t. Наименьшим из отрезков АС/ будет отрезок , расположенный вдоль линии наименьшего ската. Так как ACiafit и AC=ABsma = gSlnaЪt, а, =gsina . Такой же результат можно получить при использовании принуждения. Для данной задачи оно пропорционально квадрату длины отрезка 5С,: л, =gsina . 18.5. Уравнения Лагранжа второго рода Вывод уравнений Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах. Рассмотрим движение системы, состоящей из N материальных точек, относительно инерциальной системы отсчета. Наложенные на систему связи - голономные, удерживающие, идеальные. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам. Общее уравнение динамики для такой системы имеет вид 1№-ад)бг,=0. (18.25)
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |