Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика Изменение функции. Вариации функции Пусть механическая система имеет одну степень свободы. Примем, что ее положение определяется координатой q. Тогда дифференциальное уравнение движения в разрешенной относительно ускорения форме имеет вид Решение данного дифференциального уравнения при начальных условиях [9оо] в заданный момент времени определяет движение механической системы в виде и образует двухпараметрическбе семейство линий. Если зафиксировать точку 9о, через которую будут проходить линии семейства, и изменять лишь направление касательной, то полученное семейство линий будет однопараметрическим. Представим уравнение данного семейства, обозначив q = а, в виде q = q{q,t) = q{aj). (18.41) Тогда изменения функции, связанные с изменением аргументов г и а, будут соответственно (рис. 18.18, а) dq = 5q = dt dq да / f/=const /=const qit+ctt) q(t) t+dt t / t+dt б Следовательно, полное изменение функции (18.41) имеет вид
(18.42) Подсчитаем полное изменение функции q(a + da,t + dt)--q(a,t) геометрически. На (рис. 18.18, б) видно, что данное изменение примерно равно сумме отрезков bb и cd. Отрезок bb равен разности ординат траектории q{t), определяемой параметром а, и другой, бесконечно близкой к ней траектории 9, (о, определяемой параметром a + da, следовательно bb ={dq/da)da. Соответственно отрезок cd = {dq/dt)dt и, следовательно, линейная часть разности двух функций в окрестности точки (а, t) определяет полное изменение функции q = q{a, t) как (d4\ Aq = q{a + da,t-h dt) - q(a, t) = В механике Aq называют полной вариацией функции (даЛ q = q(a,t), а 89= - da- изохронной вариацией функции уда] q = q(a, t); представим соотношение (18.42) в виде Aq = qdt + bq . Пусть а имеет фиксированное значение а,. Подставим в (18.41) вместо а значение а+а. Тогда уравнение (18.41) в пространстве {[q, t]} будет определять траекторию, заданную параметром а = О. Покажем, что для изохронной вариации операции варьирования и дифференцирования, а также варьирования и интегрирования коммутативны. Действительно, в силу определения bqq,{adaj)-q{aj). (18.43) Дифференцируя по времени обе части данного равенства, находим d{bq) dq {а + da, t) dq(a, t) dt dt dt Правая часть полученного уравнения представляет собой разность между производными однопараметрического семейства, подсчитанными в фиксированный момент времени. Следовательно, dq(а + da,t) dq{a,t) dq dt dt d(5q) 5(dq) (18.44) dt dt Проинтегрировав (18.43) no времени на отрезке [/q, i], получим j5qdt = J 9i (a + da, t)dt - J q{a, t)dt. Так как правая часть найденного уравнения представляет собой разность между интегралами от линий соответствующего однопараметрического семейства, то jq (a + da, t)dt - jq(a, t)dt = 8 \q{a, t)dt и, следовательно, ]bqdt = b\q{aj)dt, (18.45) , Вычислим полную вариацию интеграла с переменными верхним и нижним пределами. Пусть интеграл S определен на однопараметрическом семействе линий Q = Q(a, t), т. е. S{a)= \f[t.Q{a,t\Q{a,t) Дифференцируя S(a) по параметру а, получаем Sia) = f(aA) fia,t да ydQda dQda) Преобразуем второе подынтегральное слагаемое найденного уравнения, используя коммутативность операций дифференцирования (d/dt) и (д/да):
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |