Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 [ 178 ] 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Изменение функции. Вариации функции

Пусть механическая система имеет одну степень свободы. Примем, что ее положение определяется координатой q. Тогда дифференциальное уравнение движения в разрешенной относительно ускорения форме имеет вид

Решение данного дифференциального уравнения при начальных условиях [9оо] в заданный момент времени определяет движение механической системы в виде

и образует двухпараметрическбе семейство линий. Если зафиксировать точку 9о, через которую будут проходить линии семейства, и изменять лишь направление касательной, то полученное семейство линий будет однопараметрическим. Представим уравнение данного семейства, обозначив q = а, в виде

q = q{q,t) = q{aj). (18.41)

Тогда изменения функции, связанные с изменением аргументов г и а, будут соответственно (рис. 18.18, а)

dq =

5q =

dt dq да

/ f/=const

/=const

qit+ctt) q(t)


t+dt t

/ t+dt б



Следовательно, полное изменение функции (18.41) имеет вид

dt +

,5a.

(18.42)

Подсчитаем полное изменение функции q(a + da,t + dt)--q(a,t) геометрически. На (рис. 18.18, б) видно, что данное изменение примерно равно сумме отрезков bb и cd. Отрезок bb равен разности ординат траектории q{t), определяемой параметром а, и другой, бесконечно близкой к ней траектории 9, (о, определяемой параметром a + da, следовательно bb ={dq/da)da. Соответственно отрезок cd = {dq/dt)dt и, следовательно, линейная часть разности двух функций в окрестности точки (а, t) определяет полное изменение функции q = q{a, t) как

(d4\

Aq = q{a + da,t-h dt) - q(a, t) =

В механике Aq называют полной вариацией функции

(даЛ

q = q(a,t), а 89= - da- изохронной вариацией функции

уда]

q = q(a, t); представим соотношение (18.42) в виде

Aq = qdt + bq .

Пусть а имеет фиксированное значение а,. Подставим в (18.41) вместо а значение а+а. Тогда уравнение (18.41) в пространстве {[q, t]} будет определять траекторию, заданную параметром а = О.

Покажем, что для изохронной вариации операции варьирования и дифференцирования, а также варьирования и интегрирования коммутативны. Действительно, в силу определения

bqq,{adaj)-q{aj). (18.43)

Дифференцируя по времени обе части данного равенства, находим

d{bq) dq {а + da, t) dq(a, t) dt dt dt



Правая часть полученного уравнения представляет собой разность между производными однопараметрического семейства, подсчитанными в фиксированный момент времени. Следовательно,

dq(а + da,t) dq{a,t) dq

dt dt

d(5q) 5(dq)

(18.44)

dt dt

Проинтегрировав (18.43) no времени на отрезке [/q, i], получим j5qdt = J 9i (a + da, t)dt - J q{a, t)dt.

Так как правая часть найденного уравнения представляет собой разность между интегралами от линий соответствующего однопараметрического семейства, то

jq (a + da, t)dt - jq(a, t)dt = 8 \q{a, t)dt

и, следовательно,

]bqdt = b\q{aj)dt, (18.45)

, Вычислим полную вариацию интеграла с переменными верхним и нижним пределами. Пусть интеграл S определен на однопараметрическом семействе линий Q = Q(a, t), т. е.

S{a)= \f[t.Q{a,t\Q{a,t)

Дифференцируя S(a) по параметру а, получаем

Sia) =

f(aA)

fia,t да

ydQda dQda)

Преобразуем второе подынтегральное слагаемое найденного уравнения, используя коммутативность операций дифференцирования (d/dt) и (д/да):



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 [ 178 ] 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка