(18.60)

т. е. кинетическая энергия системы совпадает с кинетической энергией изображающей точки в -мерном пространстве обобщенных координат, если массу точки т принять равной единице. В соответствии с законом сохранения энергии 2Т = 2(А - П),

тогда из формулы (18.60) находим

dt =

p(h-n)

Подставив полученные выражения для Ти dt в формулу (18.59), определяющую действие по Лагранжу, получим

W=yiQi-n)ds. (18.61)

Интеграл W, представленный в форме (18.61), называется действием по Якоби. Принцип стационарного действия в этом случае принимает вид

АЖ = А \2Tdt = А yiQi - n)ds = О.

в такой форме принцип стационарного действия, открытый в 1837 г. К. Якоби, формулируется следующим образом: действительное движение голономной консервативной системы между двумя заданными конфигурациями А и В отличается от кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же полной механической энергией, тем, что для действительного движения действие по Якоби имеет стационарное значение.

Пусть на механическую систему не действуют активные силы. Тогда на основании формулы (18.61) действие Же точностью до произвольной постоянной будет

и принцип стационарного действия имеет вид

Следовательно, движение голономной системы по инерции в пространстве обобщенных координат эквивалентно движению изображающей точки по геодезической линии этого пространства. Длина дуги геодезической линии меньше длины дуги любой другой линии, соединяющей заданные точки.

При движении механической системы под действием потенциальных сил в пространстве обобщенных координат вводят метрику

ds =2ih-n)±aydq,dqj =29/9у , (18-62)

где = 2(h - II)aij, поэтому

W=]ds.

Таким образом, движение голономной системы под действием потенциальных сил эквивалентно движению изображающей точки по инерции в пространстве Римана, метрика которого определяется выражением (18.62). Согласно принципу наименьшего действия, в форме Якоби движение происходит по геодезической линии пространства Римана.

При доказательстве справедливости интегральных принципов показано, что соответствующие действия (Гамильтона, Мюпер-тюи-Лагранжа, Якоби) имеют стационарные значения. Установление типа экстремума связано с рассмотрением второй вариации, минимум которого реализуется при 88>0.

Канонические уравнения Гамильтона

Рассмотрим (2/1 + 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются д.р, и t. Величины р, называются обобщенными импульсами и определяются равенствами

3L/ oq,

(18.63)

Введем также функцию фазовых переменных H{q, р, t), связанную с функцией Лагранжа L(q, р, t) равенством

Д9р.-,9..9р--...0 + Я(9 ...,9 ,;?,..,;? ,0 = Е/А- (18-64)

Для вывода уравнений движения в пространстве фазовых координат воспользуемся принципом наименьшего действия (18.54):

5.S = 8ji = 5jX(m, -Я)Л = 0.

Обратим внимание на математическую особенность решаемой задачи: время / и позиционные координаты фиксированы в

концевых точках, переменные свободны. Следовательно, в пространстве фазовых переменных q,p,t мы имеем задачу со свободными концевыми условиями. Но эти условия не вносят особенностей в решение, поскольку подынтегральная функция не зависит от р,

В новых переменных вариация действия имеет вид

Pibq+qbpi --8q-

dq, dpt

dt = 0.

Принимая bo внимание краевые условия bq, (t) = бдД/,) = 0, преобразуем первый член подынтегрального выражения:

jPibq,dt = p,bq,\l - [Pibqdt.

Выражение для Ъ8 примет вид

Ър,-

дН -

dt = 0.

Равенство нулю вариации действия &S при произвольных и независимых вариациях 8(,6/>, будет при условии равенства нулю соответству1дщих сомножителей при бд, 5р<.