Таким образом, получаем дифференциальные уравнения движения механической системы в фазовом пространстве, называемые каноническими уравнениями Гамильтона:

dt dp, dt dq,

С учетом уравнений Лагранжа и определения обобщенного импульса (18.63), находим

дL dp, az . , (z=i,..., ).

d dt

[dq,

dt dq.

Сравнивая эти уравнения со второй системой уравнений Гамильтона, приходим к выводу, что

dL dH .

dq, dq,

и уравнения (18.63), а также первая система уравнений (18.65) могут быть получены из соотношения (18.64) формальной операцией частного дифференцирования в предположении независимости переменных q, ,Pi,t,

Для голономных стационарных систем

А. az А. аг

г dq, dq,

и функция Гамильтона

Н = 2Т-{Т-П) = Т + П

определяет полную механическую энергию системы.

Канонические уравнения Гамильтона представляют собой нормальную (разрешенную относительно первых производных фазовых переменных p q,) систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, что упрощает как аналитическое, так и численное исследование движения механических систем.

При составлении канонических уравнений Гамильтона для голономных систем следует придерживаться следующего порядка проведения операций:

1) выделить механическую систему, определить число степеней свободы, ввести обобщенные координаты;

2) вычислить кинетическую и потенциальную энергии системы как функции обобщенных координат и скоростей;

3) ввести обобщенные импульсы системы =- и в вы-

ражении полной механической энергии выразить д, через р,. Полученная функция и будет Гамильтонианом Я данной механической системы;

4) составить канонические уравнения (18.65).

Пример 18.12. Составить канонические уравнения для линейного осциллятора, полагая, что масса движущейся точки равна т, а коэффициент жесткости пружины с.

Решение. Осциллятор имеет одну степень свободы, поэтому в качестве обобщенной координаты выберем q. Кинетическая энергия точки Т = mvjl = mq jl, потенциальная U - cq jl. Вводим импульс p - дТ/dq = = mq и выражаем q = p/m. Следовательно, функция Гамильтона Н =Т + П имеет вид

2т 2

В соответствии с (18.65) получаем

dq дН р dp дН

-12. =-= с. =--= -cq.

dt dp т dt dq

Отметим, что первое уравнение определяет количество движения точки р = , что и обусловливает название переменных /?, как импульсов. Выражая

импульс из первого уравнения и подставляя во второе, находим уравнение движения в форме Ньютона mq = -cq .

Пример 18.13. Составить канонические уравнения движения материальной точки под действием силы тяготения.

Решение. Точка на плоскости имеет две степени свободы, поэтому в качестве обобщенных выбираем полярные координаты q=r,q2=(p . Кинетическая и

потенциальная энергии имеют вид Вводим импульсы

дТ - Pi дТ 2- Pi

дг /и Эф тг

Следовательно, функция Гамильтона Н + П имеет вид

Заметим, что импульс = пгР определяет момент количества движения точки относительно неподвижного центра. В соответствии с уравнениями (18.65)

dt ф, т dt дг тг dt др2

dp dt

= 0.

Координата ф циклическая, поскольку не входит в функцию Лагранжа L. В функцию Гамильтона Н ф также не входит, что указывает на то, что свойство цикличности обобщенной координаты не зависит от того, в какой механике - Лагранжа или Гамильтона изучается данное движение.