Глава 19 ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

Колебаниями называется процесс, сопровождающийся многократным чередованием возрастания и убывания некоторых физических величин.

Физическая природа колебательных процессов различна. Колебания могут быть механические, акустические, электромагнитные, в электрических контурах и т. д. В теоретической механике рассматривают колебания в механических системах - механические колебания.

Изучение свойств колебательных движений необходимо для понимания многих физических явлений, с которыми приходится сталкиваться в инженерной практике. Движение машин и механизмов практически всегда сопровождается возникновением колебаний или, как еще говорят, вибраций. Инженеру необходимо, с одной стороны, уметь бороться с колебаниями там, где они вредны, а с другой стороны, уметь использовать их. как полезный процесс в таких устройствах, как вибротранспоргеры, виброуплотнители, сита и т. д.

Ниже рассматриваются малые колебания в системах с одной, двумя и конечным числом степеней свободы, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, относительно положения устойчивого равновесия.

19.1. Устойчивость положения равновесия механической системы

Рассмотрим механическую систему с голоиомными, стационарными и неосвобождающими связями с п степенями свободы, движение которой определяется обобщенными координатами

в соответствии с принципом возможных перемещений в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю:

=о,...,е,=о.

Для консервативной системы эти условия принимают вид

= 0 (/ = 1,2,..., ),

(19.1)

где П - потенциальная энергия системы.

Поскольку 77 есть n{q,q2,.>.,q ), (19.1) можно рассматривать как систему уравнений относительно обобщенных координат, представляющих собой условия экстремума потенциальной энергии. Решая их можно найти положения, в которых система будет находиться в равновесии.

Однако положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Если существует такое достаточно малое отклонение системы от положения равновесия, при котором она стремится вернуться назад, то такое положение равновесия будет устойчивым. В случае, когда при любом начальном отклонении система удаляется от положения равновесия, положение равновесия будет неустойчивым. Если же при начальном отклонении система остается в отклоненном положении, то положение равновесия будет безразличным.

На рис. 19.1 представлены устойчивое (см. рис. 19.1, а) и неустойчивое (см. рис. 19.1,6) положения равновесия математического маятника. Безразличное положение равновесия имеет система, приведенная на рис. 19.1, е.

При устойчивом положении равновесия система после достаточно малого начального возмущения совершает колебания около положения равновесия или возвращается в это положение без колебаний. При неустойчивом положении равновесия система после любого начального возмущения при дальнейшем движении все более удаляется от положения равновесия.

Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия бьшо дано в конце XIX в. А. М. Ляпуновым. Условимся отсчитывать обобщенные координаты 9i,92-9,i положения равновесия, т. е. считать их в положении равновесия равными нулю. Выведем систему из положения равновесия, сообщив обобщенным координатам в начальный момент времени возмущения (отклонения ?1о,920---9 0 и скорости 10,20--- в,0)-

Обозначим обобщенные координаты и их скорости при дальнейшем движении через qi(tXq2(t),...,q (t)Hq(t),q2(t%.. q (t)

соответственно.

По Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если для любых сколь угодно малых положительных чисел 8i,...,8 ; 8j,...,s можно выбрать 2п других таких положительных чисел ti,...,t ; tJ,...,t , что при начальных возмущениях системы, удовлетворяющих условиям

<Л1 --- Япо <п ;

<Tli,...,

при дальнейшем движении системы будут выполняться неравенства

Ях(0<ei,...,I? (0<е ; \я1 (0<<.-Мп(0<<

В противном случае равновесие будет неустойчивым. Безразличное положение равновесия в соответствии с данным определением относится к неустойчивым, поскольку при наличии начальной скорости система будет удаляться от начального положения.

Если при устойчивом положении равновесия все обобщенные координаты и скорости с течением времени стремятся к нулю

lim 9, (О = О, lim q, (t) = О (/ = 1,2,..., /1),