Окончательно получаем

(19.13)

Таким образом, в предположении о малости колебаний, кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости. Тогда в уравнении Лагранжа второго рода составам

ляющая - тождественно равна нулю. Поскольку кинетическая dq

энергия - величина положительная, обобщенный инерционный коэффициент может быть только положительным (а.> О). Согласно (19.8), представим обобщенную силу Q в виде

е=еп-ьед-ье(о, (i9.i4)

где - составляющая обобщенной силы от потенциальных

сил; - составляющая обобщенной силы от диссипативных

сил; Q{t) - составляющая обобщенной силы от сил, зависящих

от времени и действующих извне.

Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил равна

где n{q) - потенциальная энергия системы, отсчшываемая от положения равновесия. Так как обобщенная координата также отсчитывается от положения равновесия, то

Я(0) = 0. (19.15)

Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия:

Первый член в разложении П(д) равен нулю согласно (19.15); второй также равен нулю, поскольку в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремум; четвертый и последующие члены отбрасываем, так как в силу предположения о малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше второго порядка малости. Тогда

Обозначим

через с и назовем его квазиупругим ко-

эффициентом. Единица измерения с определяется единицей измерения обобщенной координаты: если в м, то с в Н/м, если q в рад, то с в Н м .

Окончательно имеем

n(q) = -cq\

(19.16)

Достаточным условием устойчивости положения равновесия, в соответствии с изложенными выше теоремами Лагранжа и Кельвина, является наличие в положении равновесия локального минимума потенциальной энергии. Для минимума функции необходимо равенство нулю первой производной и положительность второй. Тогда условие

оО (19.17)

является достаточным условием устойчивости положения равновесия колебательной системы с одной степенью свободы.

Составляющая обобщенной силы от диссипативных сил (19.9) равна

А=1 dq dq dq

Учитывая тождество Лагранжа, вытекающее из (19.10):

dq dq

получаем

Введем функцию, называемую диссипативной функцией Рэлея

1 . 1

тогда

ед=-. (19.19)

Подставим в диссипативную функцию Рэлея (19.18) выражение для скорости (19.10):

e=\B{q)q\

С коэффициентом B{q) поступим так же, как с коэффициентом A(q) в выражении кинетической энергии, т. е. разложим его в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( = О), а

затем учтем только первый член, поскольку диссипативная функция Рэлея уже содержит в себе величину второго порядка

малости q,

Обозначим В(0) через Ь. Коэффициент b называют обобщенным диссипативным коэффициентом. Единица измерения Ь, как и коэффициентов а и с, определяется единицей измерения обобщенной координаты: если в м, то i в Н с/м , если q в рад, то в Нем.

Окончательно получаем

Ф = Ъq. (19.20)

Диссипативная функция Рэлея по своему определению (см. (19.18)) не может быть отрицательной, однако в частном случае консервативной системы она может равняться нулю при ненулевой скорости обобщенной координаты. Поэтому обобщенный диссипативный коэффициент может быть большим или равным нулю {Ь>0).

Для выяснения механического смысла диссипативной функции Рэлея рассмотрим теорему об изменении кинетической энергии для колебательной системы, на которую воздействуют только потенциал1?ные ц диссипативные силы:

Здесь