Разделы сайта
Читаемое
Обновления Apr-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления При гармоническом возбуждении, согласно (19.25), дифференциальное уравнение движения имеет вид aq + bq + cq = Qo s\n(pt + р), q + 2sq + (oq = /о sm(pt + Р). (19.49) Силовое и кинематическое возбуждения колебаний Решение (19.49) будем искать в виде суммы (19.42) общего решения однородного уравнения + 28 + 0)9 = 0 и частного решения неоднородного.. В § 19.3 было показано, что общее решение однородного уравнения может быть представлено в зависимости от соотношения между 8 и со в одной из трех форм: =в~(С cosco,/ + C2 sinco,/) при 8<со; 9оо =~чс, +С2О при 8 = 0); (19.50) Чо.о=е {С,е Се-) при 8>0). Для определения частного решения уравнения (19.49) воспользуемся методом комплексных амплитуд. Известно, что и = /о cos(p/ + Р) + if, smipt + р), (где / - мнимая единица) и, следовательно, /oSin(;7/ + P) = Im/oHP Поэтому можно ввести вспомогательное уравнение у + 2гу-(оу = /оеР\ найти его частное решение у, а затем, воспользовавшись линейностью вспомогательного уравнения, для которого справедлив принцип суперпозиции, получить .н Учм- Задав j/.H в виде у =Ge\ где G - комплексная амплитуда, получим откуда fo fo (со -p +28/ D*e Здесь = (ау-рУ4гр ; у = arctg- ю - p (19.51) Тогда D= . (19.52) Отсюда =lmj;, =Dsm(pt + -y), (19.53) Общее решение (19.49) будет иметь вид q=e~\C cosco,/ + C2 sinco,0 + sin(/7/ + P-y) при 8<co; = -(C,+C20 + sin(/7/ + p-y) при 8 = 0); (19.54) q = e{Ce + Ce) + Ds\x\{pt + P- y) при 8 > со, где C и Сз - константы, определяемые из начальных условий (19.29) с использованием полного решения (19.54). Структура общего решения (19.50) однородного уравнения такова, что при любых отличных от нуля значениях 8 с течением времени из-за наличия множителя оно стремится к нулю, и в решении (19.54) остается только частное решение. В этом случае говорят об установившихся вынужденных колебаниях. На основании решения (19.53) можно сформулировать основные свойства установившихся вынужденных колебаний: 1)это незатухающие колебания; они длятся так долго, как долго действует возмущающая сила; 2) эти колебания не зависят от начальных условий; 3) при гармоническом возбуждении они происходят с частотой возмущающей силы; 4) эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы на величину у, изменяющуюся, как будет показано ниже, от О до л;. Амплитуда D установившихся вынужденных колебаний и сдвиг по фазе у зависят в силу (19.51) и (19.52) от соотношения между частотами и со и от коэффициента затухания 8. Проанализируем эти зависимости, называемые амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. Для большей общности результатов перейдем к безразмерным параметрам. Безразмерным коэффициентом затухания d называют отношение =28/(0. Если 8 со и, следовательно, Г, то безразмерный коэффициент затухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний: 28 Ti Г 28Г1 Г 5 Г 5 d =--- =--- =-- -. (О Т 2п пТ п Добротностью Д называют величину, обратную d : д = 1/ = ш/28. Очевидно, что при малом затухании добротность, как и безразмерный коэффициент затухания, может бьпъ выражена через логарифмический декремент колебаний: Д = п/Ь. Разделив числитель и знаменатель амплитуды (19.52) на со, получим Здесь D =Qo/c,a Х= , (19.55) - коэффициент динамичности при наличии вязкого сопротивления. Исследуем зависимость коэффициента динамичности А, от z и d, представляющую собой амплитудно-частотную характеристику системы в безразмерном виде: при Z = О Х = 1;
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |