где 2 = г-200с ; С,2, С22 - произвольные постоянные на втором интервале движения, С,2 = -0,015 м; С22 = -0,037 м .

-0,04-

1 Переходный процесс

398 400 402 404 406 408 Рис. 19.18

Подставив числовые значения, получим

x = -e-°2(o,015cosl 1,992 +0,037sinl 1,992)+ 0,037sin(8r2 -0,1).

Процесс перехода от установившихся вынужденных колебаний с амплитудой D к установившимся вынужденным колебаниям с амплитудой 1,5 D представлен на рис. 19.18,6. Продолжительность переходного процесса на втором интервале движения составляет примерно 7 с.

Используя, как и на первом интервале, только частное решение, получим параметры в конце второго интервала, являющиеся начальными условиями для третьего интервала движения:

t2 = 200 с ; ;с(200) = h5Dsin(pt - у) = -0,0275 м; jc(200) = \,5Dpcos(pt-y) = -0,2015 м/с.

На третьем интервале (продолжительность более 400 с) решение при отсутствии возмущающей силы можно записать в виде уравнения затухающих колебаний

x = е~ (С,з cos©13 + с23 sin со,Гз),

где Гз =/-400с.

Определив произвольные постоянные С,з и с23 из начальных условий для этого интервала по формулам (19.35):

= -0,0275 м; с23 = -0,018 м , получим следующее решение:

x = -- 3 (0,0275cosl 1,993 +0,018sinl 1,99Гз).

Процесс перехода от установившихся вынужденных колебаний с амплитудой 1,5D к состоянию покоя представлен на рис. 19.18, е. Его продолжительность составляет примерно 6 с.

Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы

Часто в технических задачах возмущающая сила является периодической, но негармонической. Примеры такой силы приведены на рис. 19.19.

Дифференциальное уравнение движения механической системы в этом случае может быть представлено в виде

aq + bq-cq = Q(t), (19.56)

где Q(t) = Q(t + T);T - период возмущающей силы.

Ограничимся случаями силового и кинематического возбуждений. Пусть функция Q{t) удовлетворяет условиям Дирихле,

т. е. она ограничена, имеет разрывы первого рода и конечное число экстремумов на конечном интервале. Тогда Q(t) можно

разложить в ряд Фурье:

6(0 = бо + npt + b sinnpt), (19.57)

где e =.=J-}e(0*; a =]Q{t)cosnptdt; b =

b 0 b 0

Tb 0

Q(t) sin nptdt ( и = 1,2,...).

Тригонометрический ряд (19.57) можно представить в амплитудной форме

Q(t) = Qo + sinipj + р ), (19.58)

где а =ylalTb;p =пр; Р =arctg(ajb ) .

Отдельные члены этого ряда называют гармониками; значениям /1 = 1,2,3... соответствуют гармоники первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Подставив (19.58) в (19.56) и разделив каждый член полученного выражения на а, получим дифференциальное уравнение в канонической форме:

+ 28 + (Oq = /о + (Рп + Р )

Решение этого уравнения, как и в случае гармонической возмущающей силы, можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения, характеризующего свободное движение,