и частного решения неоднородного уравнения, характеризующего установившиеся вынужденные колебания.

В силу линейности дифференциального уравнения частное решение будет представлять cyMNfy

Ччн Чч.н Z- 4h

где q =Qo/c - смещение центра установившихся крлебаний от положения равновесия при Qq 0; q[ =D sin(/7 /H-p -у );

y - амплитуда и сдвиг фазы п-й гармоники установившихся вынужденных колебаний, определяемые по формулам (19.51), (19.52) после замены в них р на р ,

В силу кратности частот установившиеся вынужденные колебания будут периодическими с периодом Г, однако закон изменения q во времени не будет соответствовать закону изменения вынуждающей силы. Здесь действуют следующие закономерности. С одной стороны, последовательность амплитуд Q представляет собой дискретный линейчатый спектр с тенденцией уменьшения Q с ростом п. В зависимости от закона изменения Q(t) ряд Фурье может сходиться достаточно быстро как, например, для силы, представленной на рис. 19.19, а, так и относительно медленно (в случае импульсной нагрузки, приведенной на рис. 19.19, в). Сама механическая система при этом ведет себя как фильтр: пропускает практически без искажения гармоники с частотами, много меньшими собственной частоты со , усиливает гармоники с частотами, близкими к резонансной, и не пропускает гармоники с частотами, много большими со. Из-за этого возникают амплитудные искажения . Последнее обстоятельство, кстати, всегда позволяет ограничиться конечным числом гармоник щ.

С другой стороны, при наличии вязкого сопротивления у гармоник оказываются различными фазовые сдвиги, что при суммировании приводит к возникновению фазовых искажений.

Таким образом, при выборе возможны две ситуации:

1) р = 2п/Т<(о. В этом случае какое-либо значение р может оказаться близким к со (резонансный режим) и из-за возрастания Х доля этой гармоники в частном решении будет значительно больше остальных, поэтому /Iq должно быть больше л, соответствующего резонансному режиму.

2) р = 2п/Т > со. В этом случае резонанс невозможен, коэффициенты динамичности монотонно убывают с увеличением п и можно ограничиться достаточно малым /Iq .

Вынужденные колебания в случае произвольной возмущающей силы

При отсутствии вязкого сопротивления (8 = 0) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

q-(oq = -Q(t), (19.59)

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных представим решение (19.59) в виде

9 = С, (О cos(ot + С2 (О sin со (19.60)

где Ci(0, €2(0 -искомые функции времени. Дифференцируя по времени, получаем

= С, (t) cos со / + С2 (О sincot- Cj (t) со sin о) + С2 (/) со cos со.

Та как неизвестные функции две - C(t) и €2(0, то в соответствии с методом вариации произвольных постоянных их можно связать дополнительным условием, потребовав, чтобы выражение для q имело тот же вид, что и при постоянных Q и , т. е. приняв

С, (/) cos ш / + С2 (О sin со = О . (19.61)

Тогда

q = -С, (Осо sin ш + С 2 (t)(ocos(ot, (19.62)

Продифференцировав q по времени:

= -C,(Ocosinco/ + C2(0 >cosa)/-- co[C, (Ocosco + C2 (Osin CO/] и подставив (19.60) и (19.63) в (19.59), получим

- С, (О sin со / + С2 (О cos со / = - Q(t). (19.64)

Уравнения (19.61) и (19.64) представляют собой неоднородную алгебраическую систему относительно С, (/) и С2(/), невырожденную при любых значениях со, поскольку определитель системы А = cos со/ + sin со/ = 1. Решая систему по способу Крамера, находим

С, (/) = -- Q(t) sin со /; Q (/) = - Q(t) cos со /. aco aco

Откуда следует

С, (/) = Я,--Qix) sin сохЛ;

(19.65)

1

= Н2+- te)coscox, acoj

где x - текущее время от О до /; Я Я2 - произвольные постоянные, равные значениям С, и С2 при / = 0 и определяемые

из начальных условий (19.29).

В соответствии с выражениями (19.60) и (19.62)

Подставив с учетом начальных условий (19.65) в (19.60), получим

q = qQ COSCO/ + -sinco/H-co

sin со / Q{x) cos coxrfr - cos со / Q{x) sin coxrfr 0 0

Множители sin со/ и cos со/, стоящие перед интегралами и независящие от переменной интегрирования х, можно внести под знаки интегралов. Тогда