Зависимость P(z) представлена на рис. 19.25.

Видно, что для виброзащиты необходимо, чтобы независимо от способа возмущения и вязкого сопротивления частота собственных колебаний системы была бы значительно ниже (по крайней мере в 42 раз) частоты возбуждения.

Как видно на графике

p(z), при р > (0V2 , т. е. в области виброзащиты, демпфирование играет отрицательную роль, поскольку чем меньше демпфирование, тем

больше эффект виброзащиты. Казалось бы, что нужно уменьшать демпфирование, однако это не всегда так.

Необходимо учитьшать, что при силовом возбуждении любая машина при пуске проходит режим раскрутки, а при остановке - режим торможения. Частота возбуждения при этом меняется от нуля до и наоборот. То есть система проходит через резонанс, что вьшуждает консфуктора вводить в ущерб виброзащите достаточное демпфирование с целью уменьшить амплитуду резонансных колебаний. При кинематическом возбуждении возможно скачкообразное перемещение основания (наезд на препятствие, попадание колеса в яму и т. д.), что при отсутствии демпферов (амортизаторов) может привести к недопустимым перемещениям и, следовательно, перегрузкам виброзащищаемого объекта, а также к длительному процессу затухания возникающих свободных колебаний.

Рис. 19.25

19.7. Дифференциальные уравнения малых колебаний линейной системы с конечным числом степеней свободы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек и имеющую п степеней свободы, на которую

наложены голономные стационарные связи. Предполагая, что система имеет устойчивое положение равновесия, будем отсчитывать от этого положения обобщенные координаты (/ = 1,2,..., п). Сохраним допущения относительно сил, действующих на систему, сделанные при выводе дифференциального уравнения малых колебаний системы с одной степенью свободы.

Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода:

= Qi=Qin+Qijx+Qi(t) (/ = l,2,...,n). (19.74)

В соответствии с предположением о малости колебаний будем считать обобщенные координаты, их скорости и ускорения величинами первого порядка малости. В силу стационарности наложенных на систему связей радиус-векторы точек зависят только от обобщенных координат:

Тогда

dn дгг dt ,bqi

(19.75)

и, следовательно, кинетическая энергия системы

2 ы\ 2 ;t=i aq J 2 k=i ы j=i oq dqj

л n n N

4iiz

dVj dr . . lA . .

2yf:l dqi dqj 2y Здесь масса к-й материальной точки m, ее скорость , а

(19.76)

ы1 dq dqj

причем являются в общем случае, как и г, ф)шкциями обобщенных координат.

Разложим Aj в ряд Маклорена в окрестности положения

равновесия:

A.(9 2---? ) = (Aj)o+Z

В силу малости колебаний будем учитывать только первые члены разложения, которые обозначим

и назовем обобщенными инерционными коэффициентами,

причем, согласно (19.76), a-j =а.

Окончательно имеем

1=1 7=1

(19.77)

Кинетическая энергия оказалась квадратичной формой обобщенных скоростей. Известно, что кинетическая энергия механической системы может быть либо положительна, если отлична от нуля хотя бы одна обобщенная скорость, либо равна нулю при всех равных нулю обобщенных скоростях. Следовательно, квадратичная форма кинетической энергии (19.77) является положительно-определенной.

Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил

Qm=-f-- (19.78)

Разложим потенциальную энергию системы Я( 2---?п) ряд Маклорена в окрестности положения равновесия:

n{q,q,...,q ) = n{Q)) +

dqdqj

(19.79)

1 п п п о /=1 ji =1

qiqjq,+..

Первый член в разложении (19.79) равен нулю, поскольку потенциальная энергия и обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия; вторые члены, включающие в себя