также равны нулю, поскольку в положении равновесия

потенциальная энергия имеет экстремум; четвертые и последующие члены отбрасываем в силу предположения о малости колебаний. Тогда

Обозначим z- через cj и назовем их квазиупругими

J и л 1=1 7=1

dqidqj

коэффициентами, причем Су = . Окончательно имеем

n(q ...,q )=\±±cyq,qj, (19.80)

Т. е. потенциальная энергия представляет собой квадратичную форму обобщенных координат.

Выясним, в каком случае положение равновесия колебательной системы будет устойчивым. Согласно теореме Лагранжа, достаточным условием устойчивости положения равновесия консервативной системы является наличие в нем локального минимума потенциальной энергии. Выше было принято, что потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю. Следовательно, для устойчивости положения равновесия достаточно, чтобы в некоторой окрестности положения равновесия она была строго больше нуля и обращалась в нуль только при всех нулевых значениях обобщенных координат. Другими словами, достаточно, чтобы квадратичная форма (19.80) была положительно-определенной.

В соответствии с критерием Сильвестра, для того чтобы квадратичная форма была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы коэффициентов квадратичной формы были строго больше нуля.

Запишем в соответствии с (19.80) матрицу коэффициентов квадратичной формы

(19.81)

nl п2

Тогда, в соответствии с теоремой Лагранжа и критерием Сильвестра достаточное условие устойчивости положения равновесия консервативной колебательной системы имеет вид

С\л Сю ... Ci,

Си >0;

>0;

-12 С22

>0.

Поскольку всегда можно изменить нумерацию обобщенных координат и любую из них сделать первой, то очевидно, что все элементы матрицы (19.81), стоящие на главной диагонали, должны быть строго больше нуля:

с >0 (/ = 1,2,...,п).

Для анализа устойчивости положения равновесия при наличии диссипативных сил можно так же, как и в случае системы с одной степенью свободы, воспользоваться теоремами Кельвина.

Пример 19.7. Определить, при каких значениях жесткости пружины с положение равновесия системы, состоящей из двух связанных между собой пружиной математических маятников (рис. 19.26), будет устойчиво.

Решение. Изменение потенциальной энергии системы при отклонении от положения равновесия (ф = 0, \/ = 0) будет результатом подъема груза левого маятника на высоту Л = 3/(1 - cos ф), опускания груза правого маятника на высоту 2 = 2/(l-cos\/) и деформации

пружины. Полагая, что в.положении равновесия пружина не деформирована, запишем изменение

ее потенциальной энергии в виде сХ?/2, где X -

деформация пружины, которую в силу предположения о малости колебаний можно определить по формуле X = /ф - /\/ = /(ф - V). Тогда потенциальная энергия системы при ее отклонении от положения равновесия

П = Зт/(1 - cos ф) - 2т/(1 - cos\/) + cli - \/) .

Рис. 19.26

Так как в выражении для потенциальной энергии нужно учитывать величины до второго порядка малости, представив созф и cos\/ в виде

со8ф = 1-ф/2 и cos\/= /2,получим

= (11ф+2с12ф\/ + С22\/),

где Ci 1 = с/ + 3mgl; = Сз, = -с/; = с/ - 2mgl.

Из условий

С22 > О,

11 42 21 22

>0

соответственно имеем

с > 2mg/l; (19.82)

с > 6mg/l. (19.83)

Сопоставляя (19.82) и (19.83), получаем, что для устойчивости положения равновесия необходимо выполнение условия (19.83).

Подставив выражение для потенциальной энергии (19.80) в (19.78), получим составляющую обобщенной силы от потенциальных сил

Qin=-tijqj . (19.84)

Составляющая обобщенной силы от диссипативных сил равна

где Ф - диссипативная функция Рэлея.

Учитьшая вьфажение для скорости (19.75), запишем диссипативную функцию Рэлея Ф для системы с п степенями свободы:

1 N

=\b>tti:b = (19.86)

2 ji dqi dqj

л n n N TfP rr л n n

M y=l Л=1

dqi dqj

=1 y=l

Здесь Bij являются в общем случае функциями обобщенных координат: