2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая - больше большей.

Отметим, что для колебательных систем с упругой связью

( 12=0)

В этом случае график функции Д(со), представляющий собой параболу, оказывается, симметричным относительно вертикали, проходящей через точку со =0,5(nf + ), и справедливо равенство

Aii-cof =со-п (19.103)

Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам со и ©2 виде

=Aiisin(co,r + ai); 92i=A2iSm(co,r + a,);

12 =A2Sin(C02 + 2); 22 =22 sin(C02 + a2),

где второй индекс соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.

Отметим, что константы Ац, А21 и А12, А22 не являются независимыми. Действительно, подставив решения в уравнения движения, мы получим вырожденную систему (19.99), у которой одно уравнение будет иметь коэффициенты, пропорциональные коэффициентам другого уравнения. Так, для частоты со имеем

(q, -a)fa )Ai, +(ci2 -cofai2)A2i =0;

(ci2 -a)fai2)Aii +(C22 -a)?a22)A2i =0,

откуда

A2i=2iAi. (19.105)

где Л 21 - i - i

12-1 12 С22-Ща22

Аналогично получаем для ©2

А22=Л22А2. (19.106)

где Ц22 - 2 ~--2-

Ci2-C02 12 С22-Ща22

С учетом (19.105) и (19.106) частные решения (19.104) будут иметь вид

=AiiSin(a)ir + ai);

921 =Л21А18т(0)1Г + а1); 9i2 = А2 sin(o)2 + a2)

922 =Л22А2 sin(0)2 + a2).

Эти решения называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами щ и щ соответственно. Коэффициенты t2i22 называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют соотношение между амплитудами в главных колебаниях, или формы главных колебаний. Коэффициенты распределения амплитуд, а следовательно, и формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы, т.е. обобщенными инерционными и квазиупругими коэффициентами, и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют так же, как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

В выбранной нами структуре частных решений содержатся пока не определенные произвольные постоянные Ац и А12, поэтому для получения общего решения достаточно частные решения сложить:

9i =9ii +9i2 =AiSin(a)ir + ai) + Ai2sin(0)2 + a2);

92 =921 +922 =tl2iAiSin(o)ir + ai) + t22Ai2sin(o)2 + ot2).

Общее решение содержит четыре неопределенные величины Ац, Ai2, otj и а2. Воспользуемся начальными условиями (19.96). Подставляя (19.107) в (19.96), получаем систему 10 = Ац sin щ + Ai2 sin а2; 920 = Л21А1 sintti +TI22A2 sinttj ; qio =a)iA,icosa, +0)2A2 cosa2;

920 =ti2i®iAiCosai +Tl22®2A2COSa2,

из которой определяем Ац, А2 и аз.

Отметим, что при произвольных начальных условиях обе константы Лц и А2 получаются отличными от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами cOj и ©2 такая сумма представляет собой не только не гармонический, но и в общем случае не периодический процесс.

Для того чтобы процесс был одночастотным и гармоническим, необходимо специальным образом подобрать начальные условия. Начальные отклонения и скорости должны быть связаны между собой через один из коэффициентов распределения амплитуд. Например, если выполнить условия = Л 2110

Я20 = Л2110 в соответствии с (19.107) константа А12 =0, и в системе возникнут одночастотные гармонические колебания с частотой ©1. Для этого достаточно, чтобы только начальные

отклонения были связаны одним из коэффициентов распределения амплитуд, а начальные скорости равнялись нулю, или наоборот.

Возможен и другой подход - найти новые обобщенные координаты 01 и 02, называемые нормальными, или главными, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим. Анализируя решение (19.107), убеждаемся, что исходные и нормальные координаты должны быть связаны соотношениями

(19.108)

92=Л2101+Л22б2-

Можно показать, что переход от исходных координат к нормальным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий к каноническим. Подставим и 2 выраженные согласно (19.108) через 0i и 02, в квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий системы с двумя степенями свободы (19.91):