7={( и +2а,2Л21 + 2221)0? +2К, + 12(Л21 +Л22) + + 22Л21Л22]ё,в2 +(fl +2а,2Л22 + 2222)62};

П = -{(Cn+2c2У\2 + С22Л21)в? + 2[с +с,2(Л21 +Л22) + + 22212210102 +(1, +2С,2Л22 +2222)62}.

И покажем, что коэффициенты = ii+ 12(П21+П22) +

+ 22Л21Л22 И =Cil +С12(Л21 + Л22) + С22Л21Л22 ВХОДЯЩИб В ВЫ-

ражения для кинетической и потенциальной энергий, равны нулю.

Из выражения (19.105) для коэффициента распределения амплитуд TI21 имеем

?( 12Л21+ 11) = С11+с,2Л21;

0)? ( 2221+12 ) = С12+С22Л 21-

(19.109)

Умножив второе равенство (19.109) на л 22 и сложив с первым, находим

о>?[ 11 + 12(Л21 +Л22) + 222122!= (19.110)

= с +с,2(Л21 +Л22) + С22Л21Л22-

Точно таким же путем из выражения для коэффициента л 22 получаем, что

(О2К1 + 12(Л21 +Л22) + 22Л21Л22]= (19.111)

= с +с,2(Л21 +Л22) + С22Л21Л22-

Вычтем (19.110) из (19.111):

(Ш -0)f)[a +а,2(Л21 +Л22) + 22Л21Л22] = (Ю2 Кг = 0-

Так как (О2 tof, то (2 = 0. Тогда из выражения (19.110) или (19.111) следует, что =0, а значит, квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий будут каноническими:

Т = (а,ё+а,ё1); Я = (с,е?+028), (19.112)

где 1 =а,1+2а,2Л21+Я22Л2И 2 = ii + 2а12Л22 + 22Л22; =

= с +2С,2Л21 +С22Л21; 2 =<11 +2С,2Л22 +<22Л22-

Подставив выражения (19.112) для Г и Я в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в нормальных координатах

aiei+Ci0i=O; 262+0262=0, причем Ci/i =cof; С2/а2 =©2-

Выразив с помощью (19.108) Gj и 62 через и 2 л 2-Л2291 . а Л211 -Яг

!-, 2--,

Л21-Л22 Л21-Л22

можно из начальных условий для и 2 получить начальные условия для нормальных координат.

Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях при произвольном возмущении, при наличии или отсутствии вязкого сопротивления, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах.

Пример 19.11. Два одинаковых математических маятника длиной / и массой т соединены между собой пружиной, имеющей жесткость с (см. рис. 19.27). При вертикальном положении маятников пружина не деформирована. В начальный момент времени левый маятник отклонен на угол р и маятники отпущены без начальной скорости. Исследовать движение системы.

Решение. Дифферешщальные уравнения малых колебаний системы были получены в примере 19.8 (см. (19.93)).

Дифференщ1альные уравнения парциальных систем имеют вид

mlip+imgl + с/)ф = 0;

т/\/+(wg/+ с/ )\f = 0.

В силу симметрии задачи (маятники одинаковые) парциальные частоты совпадают:

2 2 rngUcl g с

П% -По ---- -- Н--.

Зададим решение в виде (19.98)

ф = Л, sin(cof + а); \/ = Аг sin(cor + а) и, подставив его в уравнения движения, получим алгебраическую систему относительно Aj и А2:

{mgl + cl -m/coA =0;

-с/А, +(mg/ + c/2-m/V)A2 =0. Частотное уравнение имеет вид

Отсюда

(mgl + cl -mlWf --(clf =0 , (mgl - w/co ){mgl + 2cl-mlW) = 0,

ml i ml i

Отметим справедливость утверждения (19.103): n -cof = co = c/m . Два частных решения (главные колебания) имеют вид

Ф1 = Ai 1 sin(cOir + ttj); Ф2 = А12 sin(co2 + ); = Л21 sin((Oif + ttj); \f 2 = A22 sin(C02 + a2).

Учитывая, что

Л21 mgl + cl -mlo mgl + cl -mgl Ац c/ cr

A22 mgl + cl - ml(ol wg/ + c/ - wg/ - 2cl

Л22 - T~--Ti----

получаем

ф = Aj 1 sin(co,r + ttj); Ф2 = A12 sin(C02 + 2) = A sin(C0if + tti); \/2 = -A12 sin(co2 + 2) В первом главном колебании маятники движутся в фазе (рис. 19.32, а), пружина остается недеформированной, и поэтому первая собственная частота со совпадает с частотой математического маятника.

< 2;Л22=-

Рис. 1932

Во втором главном колебании маятники движутся в противофазе (рис. 19.32, б), при этом на пружине имеется неподвижная точка, назьюаемая узлом формы колебаний.

Подставив общее решение