Учитывая (19.105), получаем, что при р = ©j

Следовательно, при резонансе на частоте щ форма вынужденных колебаний (отношение Gj/Gj) совпадает с собственной формой колебаний по первому тону. Аналогичный результат получается и при резонансе на частоте щ.

Пусть = О (система с упругой связью) и Ci2 < О. Отметим, что знак коэффициента Ci2 определяется субъективным фактором - выбором положительных направлений отсчета обобщенных координат.

Так, для рассмотренного в примере 19.8 случая свободных колебаний связанных пружиной маятников направления отсчета обобщенных координат ф и \/ совпадают и коэффициент

Ci2=-c/. При противоположных направлениях-отсчета обобщенных координат ф и \/ деформация пружины Х,==/ф + /\/ и

коэффициент -с1 >

Выражения (19.116) для Gi и G2 при а = О имеют вид

(2-p)Qi

ii(p-co?)(p-~co) jj

G2=

ll 22(P~0)f)(p~C0)*

Зависимости Gj и G2 от представлены на рис. 19.34. Интерес представляет слзай при р=п1, когда G=0. При этом можно определить G2, используя для нахождения Д выражение (19.115). При р=п2=- и ai2=0 А = -Сц

Этот эффект - нулевое значенце G при конечном G2 - носит название антирезонанса, или эффекта динамического гашения колебаний, и широко используется в технике.

Рис. 1934

Обратимся к уже рассмотренному примеру 19.10 (см. рис. 19.29). Здесь тело массой на которое непосредственно действует вын)ждающая сила Fq sin pt, является объектом, колебания которого необходимо погасить, а упруго скрепленное с ним тело массой - динамическим гасителем колебаний.

Дифференциальные уравнения движения системы были получены выше (см. (19.94)) и имеют вид

тх +(ci +C2)Xi -С2Х2 =FoSinpr, 1712X2 -С2Х1 +С2Х2 =0,

где mi =11; q +C2 =Cii; C2 =C22\ Fo=Q\ 2 =22-

Если подобрать параметры гасителя таким образом, чтобы 2 =С2/т2 =р, то перемещения объекта будут равны нулю, а

перемещение гасителя Х2 = G2 sin pt = --sin .

Тогда в любой момент времени упругая сила в пружине гасителя будет компенсировать возмущающую силу, действующую на объект (рис. 19.35).

Отметим следующее.

posin;?/

1. Настройка гасителя только по частоте недостаточна. Действительно, нельзя с помощью объекта, масса которого мала, погасить колебания тела большой массы /Wi, поскольку малая масса т2 означает малую жесткость с-тр и в результате необходимая для гашения амплитуда Рис. 19.35 колебаний гасителя Fjc может оказаться очень большой и технически нереализуемой.

2. Полное гашение в реальной системе, где всегда имеются диссипативные силы, невозможно.

Рассмотрим возможность использования динамического гасителя для подавления колебаний объекта при резонансе. Введем

следующие обозначения: cOq = yfcjm - собственная частота колебаний объекта; П2 = 1щ - парциальная частота гасителя; Р = /2 - отношение масс гасителя и объекта; = F, /с - статическое смещение объекта под действием постоянной силы Fq; 5 = 2/0 У = Р/о - безразмерные частоты гасителя и возмущающей силы; Щ =\GJG\ и W2=G2/G - безразмерные амплитуды колебаний объекта и гасителя.

Тогда из (19.117) с учетом выражений (19.115) получаем

и. =

(1-ьР5-уЪ(5-уЪ-Р5 8

(1-ьР6-уЪ(5-уЪ-Р5\

Амплитудно-частотная характеристика щ при Р = 0,1; 5 = 1

приведена на рис. 19.36. Поскольку объект с гасителем представляют собой систему с двумя степенями свободы, наряду с гашением колебаний на частоте cOq на частотах со, =0,854а)о и ©2 =bl7cOo появляются два новых резонанса, соответствующих собственным частотам двухстепенной системы. Поэтому подобные гасители можно использовать только в тех случаях, когда частота возмущения жестко фиксирована.