19Л0. Колебания линейных систем с конечным числом степеней свободы

Матричная форма дифференциальных уравнений движения

Дифференциальные уравнения движения линейной системы с конечным числом степеней свободы были выведены в § 19.7 и имеют вид (19.90), или в развернутой форме

< 2,?, +а22?2 --iriQn+bi.q +С2,9, +;-;+2Л =62(0-

<4х -п2Я2 ---ппЯп +Ь Ях +b q +c ,q =Q (t)

Введем обозначения для вещественных симметрических квадратных размера пхп матриц инерционных, диссипативных и квазиупругих коэффициентов:

А = К] =

а также для матриц-столбцов (векторов) обобщенных координат системы и соответствующих им обобщенных возмущающих сил:

4i Яг

; Q(0=[e,(Ol=

0(0 62(0

а (О

Тогда уравнения движения можно представить в матричной форме следующим образом:

Aq + Bq + Cq=Q(0. (19.118)

В силу положительной определенности кинетической энергии Т системы матрица А инерционных коэффициентов как матрица квадратичной формы от обобщенных скоростей является положительно определенной во всех случаях. Матрица С квазиупругих коэффициентов является положительно определенной только при движении около положения устойчивого

равновесия, где в силу теоремы Лагранжа потенциальная энергия имеет минимум. В этом случае выполняется условие критерия Сильвестра - главные диагональные миноры ее матрицы коэффициентов должны быть строго положительны.

Если матрица В диссипативных коэффициентов является положительно определенной, то, как указывалось выше, диссипация называется полной (проявляется во всех главных движениях).

Определение собственных характеристик системы

Частоты и формы колебаний системы определяют из матричного уравнения, описывающего свободное движение консервативной системы,

Aq + Cq = 0, (19.119)

решение которого ищут в виде

q=Vsin(co/ + a), (19.120)

где V=[FJ - матрица-столбец (вектор) амплитуд обобщенных координат.

Подстановка выражения (19.120) в (19.119) дает алгебраическое матричное однородное уравнение

(C-coA)V = 0. (19.121)

Условие существования нетривиального решения уравнения (19.121) приводит к характеристическому уравнению задачи

(1е1(С-соЧ) = 0,или det(A C-coE) = 0, (19.122) где E = diag[I] -единичная матрица, элементы которой

1, если i = О, если /V j.

Упорядоченная в порядке возрастания и пронумерованная совокупность положительных корней уравнения (19.122) cof <С02 < ..<со образует так называемый спектр собственных значений системы, а соответствующая ему совокупность со, <С02 <...<со - спектр собственных частот. Если в спек-

тре собственных значений существует нулевой корень, то такой случай рассматривается как особый; он имеет место, когда матрица С не является положительно определенной.

Каждой собственной частоте А: = 1,2,..., п, соответствует свой вектор амплитуд обобщенных координат, удовлетворяющий уравнению (19.121), т. е.

(C-0)A)V =0 (19.123)

или в развернутой форме

t,(c,j-(ola,j)Vj,=0 (7 = 1,2,...,п).

Уравнение (19.123) содержит п неизвестных координат вектора V, однако, так как, согласно (19.122), матрица коэффициентов однородной системы алгебраических уравнений является вьфожденной, число независимых уравнений в системе меньше п. Если характеристическое уравнение (19.122) имеет простые корни (т. е. в спектре нет кратных корней), число независимых уравнений будет равно п -1, и компоненты вектора амплитуд определятся с точностью до множителя. Найденное таким образом (с точностью до множителя) распределение амплитуд в собственном колебании с частотой называется собственной

формой колебаний. Задание множителя определяет процедуру нормирования, которая может быть выполнена различными способами. В качестве нормирующего может выступать какой-либо из компонентов вектора амплитуд , например V или V,

либо модуль вектора (эвклидова норма) =

Примем в качестве нормирующего множителя вектора V его компонент и введем векторы формы = V/V. Число

неизвестных компонентов вектора щ равно п-1 (г =1). Отбросив одно из уравнений в (19.123), получим невырожденную систему алгебраических уравнений вида