Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

2](с,.-соа,.)Лд =(ola -c 0 = l,2,...,n),

из которой последовательно определяются все векторы . Пронумерованная совокупность векторов Hi, , Чп образует спектр собственных форм колебаний системы.

Свойства собственных частот и форм колебаний

В силу симметричности и положительной определенности матриц А и С из теорем линейной алгебры следует:

1) все корни характеристического уравнения (19.122) положительны, а в особых случаях, когда возможны и нулевые значения, неотрицательны и, таким образом, собственные частоты - вещественные;

2) собственные формы попарно ортогональны по отношению к матрицам А и С, т. е. при к

<Ai,=<Ci,=0. (19.124)

Для доказательства последнего запишем уравнение (19.123) для собственных форм, соответствующих двум разным частотам со и со, (Л,г = 1,2,...,п):

соАц =Cii;

cojAii,=Cii,.

Умножим слева первое уравнение на , а второе - на . Так

как в силу симметричности А=А, С=С, то после транспонирования и вычитания второго уравнения из первого получаем

[(й1ц1Ац,Г=(йи1Ащ =[illCii,] =ц:Сщ.

Отсюда

и, следовательно,

ii;aii,=ii;cii,=o.

Свободные колебания консервативных систем

Собственным частотам со (А: = 1,2,..., п) отвечают частные решения уравнения (19.119)



где Pj Rk - произвольные постоянные.

Свободные колебания системы представляют собой суперпозицию главных колебаний, т. е.

* (19.125)

= Г; к 0) + Rk sin юг)

или в векторной форме п

q = % (/\ cos юг + Rj sin юО.

Произвольные постоянные определяют по начальным условиям q(0) = qo, q(0) = qo с учетом ортогональности собственных форм (19.124). Подстановка в (19.125) Г = 0 и умножение обеих частей полученного равенства слева на цА дает

ч1Ч0=Ъгк)Рк=ЛкРк (г = к),

откуда следует

/>=(iAqo)/(4lAi).

Аналогично

Рк=(ц1А(1о)/щ(ЦкЦк) (19.126)

Если распределение начальных отклонений и скоростей с точностью до множителя совпадает с какой-либо собственной формой, т. е. qo = 4/, qo =4/, то отличными от нуля, согласно формулам (19.126), будут только две константы: Pi = a и /? = Ь. Это означает, что при таком специальном задании начальных условий возбуждаются главные колебания системы, причем, если Ь = О, реализуются так называемые переходные, а при а = О - импульсные характеристики.

Нормальные (главные) координаты Из (19.125) следует, что свободные колебания системы представляют собой суперпозицию гармонических колебаний.



Специальным подбором начальных условий движения можно создать условия, когда система будет совершать гармонические колебания с какой-то одной из возможных собствеищых частот, т. е. будут возбуждаться главные колебания системы.

Как бьшо показано в § 19.8, этого же возможно добиться, если найти такие новые координаты, каждая из которых будет изменяться по гармоническому закону с какой-либо собственной частотой при любых начальных условиях. Путь решения этой задачи подсказывает сама структура общего решения (19.125).

Введем новые переменные

6 =Vffsin((Okt + ak) (A: = l,2,...,n). Тогда, согласно (19.125), будем иметь

j=lljkh (7=1,2,...,п),

или в матричной форме

q = He, (19.127)

где H = [iii,ii2,...,ii ] - матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы; в = [Gj , 62,6 ] - вектор новых координат. Линейное преобразование координат (19.127) приводит квадратичную форму потенциальной энергии к каноническому виду:

n=-qXq = -e H CHe = -e C*e, 2 2 2

С* = НСН = (flic ) = diag(c); = iC 4 = ХЛьЯД

i j

Аналогично для кинетической энергии

НАН = А* = diag(a); = iА% .

В новых координатах, называемых нормальными, или глав ными, дифференциальные уравнения свободного движения консервативной системы становятся несвязанными относительно координат, т. е. принимают вид



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка