Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика 2](с,.-соа,.)Лд =(ola -c 0 = l,2,...,n), из которой последовательно определяются все векторы . Пронумерованная совокупность векторов Hi, , Чп образует спектр собственных форм колебаний системы. Свойства собственных частот и форм колебаний В силу симметричности и положительной определенности матриц А и С из теорем линейной алгебры следует: 1) все корни характеристического уравнения (19.122) положительны, а в особых случаях, когда возможны и нулевые значения, неотрицательны и, таким образом, собственные частоты - вещественные; 2) собственные формы попарно ортогональны по отношению к матрицам А и С, т. е. при к <Ai,=<Ci,=0. (19.124) Для доказательства последнего запишем уравнение (19.123) для собственных форм, соответствующих двум разным частотам со и со, (Л,г = 1,2,...,п): соАц =Cii; cojAii,=Cii,. Умножим слева первое уравнение на , а второе - на . Так как в силу симметричности А=А, С=С, то после транспонирования и вычитания второго уравнения из первого получаем [(й1ц1Ац,Г=(йи1Ащ =[illCii,] =ц:Сщ. Отсюда и, следовательно, ii;aii,=ii;cii,=o. Свободные колебания консервативных систем Собственным частотам со (А: = 1,2,..., п) отвечают частные решения уравнения (19.119) где Pj Rk - произвольные постоянные. Свободные колебания системы представляют собой суперпозицию главных колебаний, т. е. * (19.125) = Г; к 0) + Rk sin юг) или в векторной форме п q = % (/\ cos юг + Rj sin юО. Произвольные постоянные определяют по начальным условиям q(0) = qo, q(0) = qo с учетом ортогональности собственных форм (19.124). Подстановка в (19.125) Г = 0 и умножение обеих частей полученного равенства слева на цА дает ч1Ч0=Ъгк)Рк=ЛкРк (г = к), откуда следует />=(iAqo)/(4lAi). Аналогично Рк=(ц1А(1о)/щ(ЦкЦк) (19.126) Если распределение начальных отклонений и скоростей с точностью до множителя совпадает с какой-либо собственной формой, т. е. qo = 4/, qo =4/, то отличными от нуля, согласно формулам (19.126), будут только две константы: Pi = a и /? = Ь. Это означает, что при таком специальном задании начальных условий возбуждаются главные колебания системы, причем, если Ь = О, реализуются так называемые переходные, а при а = О - импульсные характеристики. Нормальные (главные) координаты Из (19.125) следует, что свободные колебания системы представляют собой суперпозицию гармонических колебаний. Специальным подбором начальных условий движения можно создать условия, когда система будет совершать гармонические колебания с какой-то одной из возможных собствеищых частот, т. е. будут возбуждаться главные колебания системы. Как бьшо показано в § 19.8, этого же возможно добиться, если найти такие новые координаты, каждая из которых будет изменяться по гармоническому закону с какой-либо собственной частотой при любых начальных условиях. Путь решения этой задачи подсказывает сама структура общего решения (19.125). Введем новые переменные 6 =Vffsin((Okt + ak) (A: = l,2,...,n). Тогда, согласно (19.125), будем иметь j=lljkh (7=1,2,...,п), или в матричной форме q = He, (19.127) где H = [iii,ii2,...,ii ] - матрица, столбцами которой являются нормированные собственные векторы; в = [Gj , 62,6 ] - вектор новых координат. Линейное преобразование координат (19.127) приводит квадратичную форму потенциальной энергии к каноническому виду: n=-qXq = -e H CHe = -e C*e, 2 2 2 С* = НСН = (flic ) = diag(c); = iC 4 = ХЛьЯД i j Аналогично для кинетической энергии НАН = А* = diag(a); = iА% . В новых координатах, называемых нормальными, или глав ными, дифференциальные уравнения свободного движения консервативной системы становятся несвязанными относительно координат, т. е. принимают вид
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |