0 -нюе =0 (Л = 1,2,...п),

где (о1=с/а, - квадраты собственных частот, определенные теперь по элементам диагональных матриц коэффициентов, соответствующих новым координатам.

Формула (19.127) определяет прямое преобразование координат, при котором обобщенные координаты выражаются через нормальные. Обратное преобразование имеет вид

e = Gq,

где G - обратная к Н матрица, которая показывает, что каждой нормальной координате соответствует линейная комбинация

обобщенных координат 6 =84 (g - вектор-строка матрицы G). Эта линейная комбинация сводится к одному числу только в случае, когда распределение координат в векторе q соответствует k-VL собственной форме, т. е. q = q = Чв. Таким образом, каждая нормальная координата представляет собой совокупность обобщенных координат, распределенных в ней в соответствии с собственной формой.

Решение общей задачи Применив линейное преобразование координат (19.127) к уравнению (19.118) и умножив его слева на , получим

АНё + Н ВНв + Н СНв = H Q.

в силу невозможности одновременного приведения к каноническому виду трех квадратичных форм - кинетической Г и потенциальной П энергий, а также диссипативной функции Ф - действительные нормальные координаты для уравнения (19.118) существуют только при определенных ограничениях, налагаемых на матрицу В диссипативных коэффициентов. В двух простейших частных случаях, когда такое приведение возможно, нормальные координаты диссипативной системы совпадают с нормальными координатами консервативной системы. Первый случай - это когда матрица диссипативных коэффициентов пропорциональна матрице инерционных коэффициентов, т. е. В = 28А, где 8 = const. Демпфирование такого типа называют внешним. Во втором случае, когда матрица В пропорциональна

матрице С квазиупругих коэффициентов: В = хС, где х = const,

демпфирование называют внутренним.

Если диссипативные силы появляются в системах в силу естественных причин, определить их путем прямых измерений затруднительно. Поэтому часто в практических расчетах характеристики и распределение по системе диссипативных сил неизвестны, и исследователь вправе принимать любой вариант демпфирования, добиваясь лишь удовлетворительного совпадения с результатами опыта.

Обозначив вектор обобщенных возмущающих сил, соответствующих нормальным координатам, через F = HQ, получим матричное уравнение движения системы в виде

А*ё + В*в + С*в = Р или в развернутой форме

ё, +2sA +соХ (Л = Ь2,..., ).

Здесь =8 в случае внешнего и 8 =ха) / 2 в случае внутрен-

него демпфирования; =Хл/б/

Глава 20 ТЕОРИЯ УДАРА

20.1. Основные понятия и допущения. Модель удара

В курсе теоретической механики теорию удара рассматривают как процесс соударения материальных точек и тел со сравнительно малыми относительными скоростями. Для этого используют модель Гюйгенса-Ньютона, в которой интегрально учитываются потери энергии при наличии местных упругопластиче-ских деформаций.

Более точной является физическая модель удара, в которой рассматриваются происходящие во времени местные деформации сплошной среды. Для изучения процессов деформирования при этом привлекают теории упругости, пластичности и распространения волн в теле. При значительных относительных скоростях удара (до нескольких километров в секунду) применяют гидродинамическую или специальную теорию высокоскоростного удара.

В излагаемой ниже теории удара рассматривают такие ударные явления, при которых происходит конечное изменение скоростей точек механической системы за весьма малый промежуток времени X, называемый временем удара.

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки массой т в виде

d{mV) = Fdt = dS (20.1)

и проинтегрируем его в пределах от О до х

m(Jl-v)=\Fdt = S. (20.2)