Теорема Карно

В выражении (20.22) присутствуют неизвестные ударные импульсы. Чтобы использовать теорему об изменении кинетической энергии при ударе для решения практических задач, необходимо эти неизвестные импульсы исключить. Для этого нужно воспользоваться теоремой об изменении количества движения при ударе. Теорема Карно соединяет эти две теоремы.

Выведем теорему Карно для материальной точки (см. рис. 20.6). При падении материальной точки на гладкую поверхность происходит наложение идеальной стационарной неупругой связи. В начале фазы деформирования скорость точки равна v , в конце щ =й \ импульс в фазе деформирования . Так как ударная поверхность гладкая, = О. Запишем для фазы деформирования уравнения, выражающие теорему Кельвина и теорему об изменении количества движения:

2 2 2 2

Умножив второе уравнение скалярно на , получим

Окончательно имеем

(20.23)

При мгновенном наложении связи на точку происходит потеря ее кинетической энергии. Для фазы восстановления, скорости точки в начале и в конце фазы будут соответственно i7, и i7, импульс ударной реакции iS2. Так как S2 перпендикулярен W, S2U\ = О. Далее аналогично записываем

2 2 2 2

Умножив второе уравнение скалярно на S2, получим

muS2 S]

Окончательно имеем

mul mulSl (20.24)

2 2 2 !

В фазе восстановления происходит мгновенное снятие связи. При мгновенном снятии связи изменение кинетической энергии точки положительное.

Сложив (20.23) и (20.24), получим

2 2 2m 2m

Кроме того, S = S +S2, бз = AS ,. Отсюда

(20.25)

5,=-; S,-S2 = -S. (20.26)

\ + K \ + K

Из (20.25) с учетом (20.26) запишем

. 1Z. (20.27)

2 2 \ + К2т

Согласно теореме об изменении количества движения точки при ударе 5 = т(й - v). Подставив это выражение в (20.27), получим

ти mv \-К т(у-йУ

2 2 \ + К 2 Величину V - й называют потерянной скоростью точки, а

m(v -йУ

- кинетической энергией точки, соответствующей

потерянной скорости. Из (20.28) следует, что в результате удара при 0<К<] происходит потеря кинетической энергии точки, а при К = 1 (при абсолютно упругом ударе) потери кинетической энергии отсутствуют.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из N точек. Предположим, что коэффициент восстановления К одинаков для всех соударений (налагаемых связей). Тогда для к-й точки теорема Карно будет выражаться уравнением

2 2 ~ \ + К 2 Суммируя по всем точкам, получаем

° 1 + A:t? 2

где Г = 2L- -0 = 2--кинетические энергии системы

а:=1 2 .=1 2

после и до удара соответственно.

Обозначим кинетическую энергию системы, соответствующую потерянным скоростям точек, через . Тогда

т -Т-- -Т

где =Z - Величину Tq -Т = Т называют еще

потерянной кинетической энергией при ударе.

Сформулируем теорему Карно для механической системы: потеря кинетической энергии системы при упругом ударе в случае мгновенного наложенш идеальных связей равна кинетической энергии системы, которая соответствует потерянным

скоростям точек системы, умноженной на коэффициент -- .

Пример 20.1. Однородный диск радиусом R и массой т имеет угловую скорость о)о . По ободу диска вдоль линии N-N, отстоящей от оси Oz на расстоянии

/?/2 (рис. 20.8) со скоростью v ударяет материальная точка массой /и,.

Определить угловую скорость диска после удара и импульс ударной реакции опоры, если удар абсолютно неупругий, а угол а = 30° .

Решение. Механическая система состоит из диска и материальной точки. Согласно теореме об изменении главного момента количеств движения системы относительно оси Oz,

m.v,

X Внешний ударный импульс - это импульс ударной реакции оси вращения Sq, который пересекает ось, и его момент относительно оси равен нулю. Поэтому K,-Kf, где K.Kf - главные моменты

количеств движения системы относительно оси Oz после и до удара.