Из второго уравнения имеем л: - О, из четвертого и пятого находим J, =Jy,=0, Это означает, что центр масс тела лежит в плоскости Oyz, ось Oz является главной для точки О, а импульс iS ударной силы перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Из первого и последнего уравнений получаем

l = Jj(myc) (20.38)

Из (20.38) следует, что знаки Ус и I одинаковы, т. е. центр масс системы и точка N лежат в плоскости Oyz по одну сторону от оси Oz.

Точка N, в которой приложен импульс S при отсутствии ударных реакций подшипников, называется центром удара.

Если центр масс системы находится на оси вращения, то Ус =0 и / = 00, т. е. в этом случае центр удара отсутствует (из

уравнения (20.32) следует 3+5= -S). Отметим, что удары по уравновешенным вращающимся валам машин передаются на подшипники.

Итак, чтобы при приложении к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, ударного импульса не возникали ударные реакции в опорах, т. е. чтобы существовал центр удара, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1) ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения тела и его центр масс;

2) точка N пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью, проходящей через ось вращения тела и его центр масс, должна лежать в этой плоскости по одну сторону от оси вращения вместе с центром масс;

3) ударный импульс, произвольный по величине, должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку О, для которой ось вращения является главной осью инерции тела.

Замечание, Покажем, как на оси Oz определить точку О, для которой ось вращения является главной. Проведем оси Ах, Ау, параллельные осям Ох, Оу

(см. рис. 20.12), тогда x = Xi,y = y,z = z-a(OA = а). Далее ддя центробежных

моментов относительно осей систем Oxyz и Axyz имеем Jz-xz

j = jy -mya . Если ось Oz является главной для точки О, то Jxz -yz -Поэтому = 0 и a = JyJ(myc)- Оси Ах иАу должны быть расположены так, чтобы легко было определить Jy.

Пример 20.4. Однородный диск массой т и радиусом R закреплен жестко на оси и может вращаться вокруг оси Oz (рис. 20.13). В точке К перпендикулярно плоскости диска приложен импульс S ударной силы. В начальный момент диск покоился.

Определить угловую скорость диска после удара, а также ударные реакции; найти центр удара.

Решение. Введем систему координат Оху. Диск лежит в плоскости Oyz. Ось Oz - главная в точке О, так как она перпендикулярна плоскости симметрии диска Оху, поэтому центробежные моменты относительно осей Ох, Oz и Оу, Oz равны нулю: J =Jyg =0. Координаты центра масс

= О, Ус = Обозначим ОК = у. Составим уравнения для теоремы об изменении количества движения в проекции на ось Ох и для теоремы об изменении главного момента количеств движения относительно осей Оу и Oz

тис, = + Sa, +Ss,;- Jy,(o, = Sj OB - SfiA; J,(o, = Sy, где ux - проекция скорости центра масс на ось Ох, их - -юус ус =R, о), - угловая скорость диска после удара. Решив систему уравнений, получим

Рис. 20.13

Sy 4Sy

Л 5mR

Вх - Ах

- Ах > Ах -

. 5RJ

где у = ОК, JmR+Jr.-mR; к = ОА/ОВ.

Очевидно, что Sy = Sgy = 5 = О .

Для нахождения центра удара положим

= 0 , отсюда = -/?.

5= О, тогда Ss=0 и

Таким образом, центр удара (точка N) лежит на оси Оу на расстоянии ON = (5/4)/?. На рис. 20.14 построены зависимости й)(у), Siy) при Х = \,

20.7. Удар по твердому телу с неподвижной точкой. Центр удара. Удар по свободному твердому телу

Приложим импульс S ударной силы к твердому телу массой т, имеющему одну закрепленную точку О (рис. 20.15). В неподвижной точке О выберем тройку главных осей инерции тела. Воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения для осей координат и определим изменение угловой скорости:

My(S).

ох

АШу, =C0j, -(Oqy =

(20.39)

Ао)/ =С0у -oz -

где J у, Jy, J у - главные моменты инерции для точки О,

Импульс ударной реакции вычислим с помощью уравнения, выражающего теорему о движении центра масс тела:

mVc =So+S , (20.40)

где Av = Асо х ; Аш = ю - ©о.

При ударе по телу, имеющему неподвижную точку, также можно определить центр удара.

Рассмотрим частный случай. Пусть ось OZ - главная центральная ось инерции тела, а импульс S параллелен оси ОХ (рис. 20.16). Тогда