fiSl-m,Av,)5r,=0. (20.47)

Если отсутствуют активные (заданные) ударные импульсы, то (20.47) принимает вид

Tkkh =0.

Следует обратить внимание на выбор возможных перемещений системы. Если связи, наложенные на систему при ударе не меняются, то возможные перемещения определяют традиционным путем. Если же при ударе возникают новые связи, то выгоднее выбирать возможные перемещения для системы с наложенными идеальными связями, так как при этом выполняется условие (20.46). Можно воспользоваться и принципом освобождения от связей, заменив их действие приложением импульсов ударных реакций к точкам системы. В этом случае возможные перемещения задают без учета дополнительных связей, а импульсы ударных реакций вводят в уравнение (20.47) как заданные (но неизвестные).

Пример Ж5. В механизме, приведенном на рис. 20.18, в зацеплении ступенчатой шестерни 2 с рейкой 3 имеется зазор. До закрытия зазора угловая скорость шестерни / равна odq < О. Массы шестерен и рейки соответственно равны

т ntj.m. радиусы шестерен - г, и Г}, радиус инерции шестерни 2 относительно ее оси вращения равен р.

Определить скорость рейки после закрытия зазора. Шестерню / считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение. В зацеплении шестерен / и 2 нет зазора, поэтому до закрытия зазора в зацеплении В Шо, = -а)2о2 скорость рейки равна нулю. После закрытия зазора в зацеплении В (удара) система имеет одну степень свободы и скорость рейки =0)2--3. Так как м, =-o).i =(2-2 = --(J>i. В соот-

ветствии с наложенными связями возможные перемещения системы выберем в конце удара (при закрытии зазора):

бг = Гз5ф2, г,бф, = -2692, Ьг = -6ф,. Общее уравнение механики имеет вид

где Л =/w,r,V2, =/W2P

Подставив в уравнение все зависимости, получим

20.9. Уравнение Лагранжа второго рода при ударе в механической системе

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек, на которую до и после удара наложены голономные связи (л:, j;, , /) = О, у = 1,2,/w. Тогда число независимых координат n = 3N -т,

Запишем для такой системы уравнения Лагранжа второго рода

Г (* = 12,..., ), (20.48)

где T,qi,Qf - соответственно кинетическая энергия системы, обобщенные координаты, обобщенные силы.

Проинтегрировав уравнения (20.48) по времени от О до т, получим

= = S, (/ = 1,2,..,/!),

где = Qidt - импульсы обобщенных ударных сил. Так как

есть величина конечная за время удара, то -at =

CP . одЯ.

X -> О (обращается в нуль).

Пример 20.6. Рейки 7 и 2 массами mj и т2 соответственно находятся в зацеплении с шестерней С (однородным диском) массой т и радиусом г (рис. 20.19). К шестерне С приложена пара ударных импульсов с моментом L

Рис. 20.19

Определить скорость рейки 1 после удара, если до удара система покоилась. Трением пренебречь.

Решение. Применим уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные координаты х,х2 указаны на рис. 20.19, связи в системе при ударе не меняются. Кинетическая энергия системы

2 2 2 2 * Скорость центра масс и угловая скорость шестерни С соответственно равны v = (л:, + х )/2 , v,. = О и 0) = (л:, - х )/2г , где л:, = v,, =

(v,=V2=0).

После подстановки и математических преобразований выражение для кинетической энергии принимает вид

Г = ii(3m + 81) + + (Зт + Ы2).

16 8 16