Таким образом, можно сделать вывод, что число степеней свободы для свободного, т. е. ничем не ограниченного в своем движении, твердого тела в общем случае его перемещения в пространстве равно шести (3x3-3 = 6). При этом в качестве независимых параметров могут выступать как любые шесть независимых координат точек А, В, С и (или) их комбинаций, так и шесть других независимых скалярных переменных, конкретный перечень которых будет определен при рассмотрении этого вида движения твердого тела.

Кроме общего случая движения твердого тела могут быть выделены и другие его виды, характеризующиеся некоторыми отличительными признаками, позволяющими выделить их из всей возможной совокупности движений. Простейшими движениями являются: поступательное движение твердого тела и его вращение вокруг неподвижной оси, более сложными - плоское и сферическое движения, а также общий случай движения твердого тела.

Для любого вида движения твердого тела справедлива теорема, которую иногда называют основной теоремой кинематики твердого тела.

Теорема 2.1. Проекции скоростей точек тела на ось, совпадающую с прямой, проходящей через них, равны.

Доказательство. Вьщелим в теле две точки А и 5, положение которых в пространстве определяют радиус-векторы Гд и соответственно (рис. 2.2). Тогда вектор АВ можно записать в виде

г-г,=АВ.

При возведении в квадрат левой и правой частей этого выражения получим

(г-г,)=(АВ)=р, где / = АВ; р=/; / =

АВ = const - расстояние между точками

А и 5 в рассматриваемом твердом теле.

Дифференцируя по времени последнее соотношение, получаем

dA - dr -

- = V

Так как в этом равенстве ,

после замены имеем

21 (Vg - Уд) = О, или Ivg = [уд.

Рис. 2.2

Раскрывая скалярное произведение векторов и сокращая на /, пол5аем

V5CosP = v cosa, где а и Р - углы между скоростями соответствующих точек и

осью /*, направленной по прямой АВ (см. рис. 2.2).

Таким образом, сформулрфованную выше теорему можно считать доказанной.

2.2. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение; при котором прямая, проходящая через любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения*. Заметим, что при этом траектории точек тела могут быть любыми и иметь форму прямой, 01фужности, пространственной 1фивой и т. д.

* Для идентификации этого вида движения достаточно, чтобы указанный признак выполнялся для любых двух непараллельных прямых, проведенных через точки рассматриваемого тела.

Примерами поступательного движения служат движения контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона, кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней эскалатора относительно пола в метро и т. д.

Свойства поступательного движения:

1) траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгруэнтны, т. е. одинаковы, и могут бьггь получены одна из другой параллельным переносом;

2) скорости всех точек тела одинаковы;

3) ускорения всех точек тела одинаковы.

Эти выводы можно подтвердить на основании следующего анализа.

Для двух любых точек А и В тела, совершающего поступательное движение (рис. 2.3), можно записать соотношение

где = const - вектор, имеющий постоянные модуль и направление во время движения, так что траектории точек АиВ как годографы соответствующих: радиус-векторов гигд оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении, что и доказывает первое свойство.

Траектория точки v4