точка А не имеет ускорения (см. рис. 21.1), то цепь будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (с подставки свешивается бесконечно малый элемент цепи), то цепь придет в движение. Нетривиальное решение (21.19) соответствует второму случаю.

Первая задача Циолковского (о движении ракеты вне силового поля)

Пусть ТПМ движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причем имеет место лишь один процесс отделения частиц. Движение такой точки моделирует движение ракеты в космическом пространстве, если пренебречь внутренним движением частиц, силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. п.

Тогда F = 0 и из уравнения Мещерского (21.5а) получим векторное уравнение движения ракеты

at at

где - относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива.

Полагая, что постоянна по величине и направлена противоположно скорости V ракеты, найдем скорость и закон движения ракеты.

Направим ось Ох вдоль вектора скорости v ракеты (рис. 21.2). В проекции на ось Ох уравнение (21.20) с учетом, что = V, и= -и, имеет вид

Mdv = -udM, (21.21)

Разделяя в (21.21) переменные и интегрируя, находим

v = Vo+t/,in, (21.22)

M{t)

где Vq - начальная скорость ракеты; - масса ракеты в начальный момент времени.

Так как М=М+ М, где - масса корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом; - масса топлива в начальный момент времени, из формулы (21.22) легко найти предельную скорость, которую получит ракета, когда будет израсходовано все топливо:

1 + -

(21.23)

Vk=Vo+w, In

Выражение (21.23) - это известная формула К.Э.Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г. Из нее следует, что предельная скорость ракеты зависит только от относительного

запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания. От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты не зависит. Если задано отношение М/М =Z, где Z - число Циолковского, то предельная скорость = Vq + и In (1 + Z) будет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.

Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории (соответствующий этапу сгорания топлива), зависит от закона сгорания топлива. Полагая при t = 0 х = 0, из уравнения (21.22) получаем

x{t) = VQt + u, fin -. (21.24)

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: экспоненциальный

M = Moг-P (21.25)

где Р = const, и линейный

M = Mq -а/ = Мо(1-аО, (21.26)

где а, = Ма; а, = const > 0; а = const > О.

Из формул (21.25), (21.26) найдем время Г сгорания топлива. Для экспоненциального закона имеем

для линейного -

Гз=11п(1-ь2),

a(l + Z)

Интегрируя (21.24) при экспоненциальном законе изменения массы (21.25), получаем закон движения ракеты

x = v,t + u,t (0</<Гз).

Если же сгорание топлива происходит по линейному закону, то, согласно (21.24) и (21.26),

x = VQt + [Ш + (1 - аО in (1 - аО] (О < / < Т;).

Отметим, что при линейном законе изменения массы (21.26) ее расход

--= MqU = const

и реактивная сила

Р = -Uf.-= Маи = const.

При экспоненциальном законе изменения массы (21.25) расход массы и реактивная сила переменны (изменяются по экспоненте), но ускорение, вызванное действием на ракету одной лишь реактивной силы, постоянно, т. е.

Р dM иМе-

а = - = ----= V, = Qu, = const. М М dt Ме-