точки, в задачах небесной механики центральная сила зависит только от расстояния (F =F(r)) и, следовательно, является потенциальной. В таком случае существует интеграл энергии

mvl2 + n{r) = h (22.8)

где П{г) = -JFdr=-JF,.(r)dr - потенциальная энергия силового поля центральной силы; Л, - константа интегрирования.

Подставив первую формулу Бине (22.6) в интеграл энергии, получаем уравнение

2И

решение которого сводится к квадратуре и зависит от конкретного вида функции F, = F,.(r).

22.2. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера

Закономерности в движении планет были установлены Иоганном Кеплером (1571-1630) путем обработки многочисленных астрономических наблюдений, полученных астрономом Тихо Браге (1546-1601). Они были сформулированы Кеплером в виде трех законов:

1. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Площади, заметаемые радиус-векторами планет относительно Солнца, пропорциональны временам движения планет.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит, т. е. ja = = const.

На основе этих законов, используя сложный геометрический метод, И. Ньютон в 1666 г. установил закон всемирного тяготения. В наше время это можно сделать проще. Действительно, из второго закона Кеплера следует, что существует интеграл площадей, т. е. сила, действующая на планеты, является центральной,

причем ее центром является Солнце. Первый закон Кеплера определяет орбиту планеты и позволяет найти центральную силу при помощи формул Бине. Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид

i = l±, (22.9)

где e = yj\-(b/ay -эксцентриситет; р-Ь/а - фокальный

параметр; а, b - большая и малая полуоси эллипса, причем полярная ось направлена от фокуса к ближайшей вершине эллипса. Подставив (22.9) во вторую формулу Бине (22.7), получим

2 f 1 . Л /2

гСОЗф 1 + гС08ф

(22.10)

Таким образом, действующая на планету центральная сила является притягивающей и обратно пропорциональной квадрату расстояния планеты от Солнца.

Обозначим в формуле (22.10) С/р = Са/й =li, где ц - постоянная Гаусса. Так как за период обращения Т радиус-вектор планеты заметает с постоянной секторной скоростью С/2 всю

площадь эллипса, то СГ/2 = паЬ. Тогда

(22.11)

Так как согласно третьему закону Кеплера отношение а/Т постоянно, постоянная Гаусса ц есть величина, одинаковая для

всех планет, движущихся под действием силы притяжения Солнца, и должна зависеть от массы Солнца.

Для тел, движущихся под действием притяжения Земли или других планет, существуют свои постоянные Гаусса, обозначим их . Сила, с которой Солнце будет притягивать планету,

- -г г

где /и; - масса i-й планеты. Сила, с которой планета притягивает Солнце,

С- -

где Mq - масса Солнца. По третьему закону Ньютона F,q = Fq, , или \imjr =\i,MQlr , откуда ц/М =,/т, = const. Следовательно, отношение постоянной Гаусса \х, любой планеты к ее массе т, есть величина постоянная, равная отношению постоянной Гаусса Солнца к массе Солнца.

Постоянную Гаусса для Земли легко определить из следующих условий: на поверхности Земли сила тяготения F равна весу

тела, т. е. при r = R F =mg, откуда Цз = gR 4-10 м/с.

Если обозначить / = ц/Л/ , то сила, действующая на планету, может быть представлена в виде

F = -/Fo, (22.12)

где Fq = г/г.

Формула (22.12) выражает собой закон всемирного тяготения, справедливый для любых двух материальных тел (точек). Коэффициент / 6,67 10 м(кг с) называется гравитационной постоянной.

Рассмотрим обратную задачу - выведем законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Так как сила, определяемая формулой (22.12), центральная, то существует интеграл площадей и соответственно выполняется второй закон Кеплера. Для вывода первого закона Кеплера воспользуемся второй формулой Бине. Подставив проекцию силы тяготения, определяемую вторым соотношением (22.11), в формулу (22.7), получим дифференциальное уравнение траектории планеты:

общее решение которого имеет вид 722